2018-2019学年广东省广州市华南师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答
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1、2018-2019学年广东省广州市华南师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,满分36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(3分)已知集合Px|x22x3,Qx|2x4,则PQ()A3,4)B(2,3C(1,2)D(1,32(3分)下列函数中,既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是()AycosxByCy2|x|Dy|lgx|3(3分)函数y(sinx+cosx)(sinxcosx)的最小正周期是()ABC2D44(3分)设Sn为等差数列an的前n项和若S525,a3+a48,则an的公差为()A2B1C1D25(3分)设命题甲:a
2、x2+2ax+10的解集是实数集R;命题乙:0a1,则命题甲是命题乙成立的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件6(3分)已知复数z满足(1+i)z|+i|,i为虚数单位,则z等于()A1iB1+iCiD+i7(3分)已知两个非零向量,满足,则下面结论正确的是()ABCD8(3分)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为()ABCD29(3分)圆x2+y2+2x+4y30上到直线x+y+10的距离为的点有()A1个B2个C3个D4个10(3分)如图所示的茎叶图(图1)为高三某班50名学生的化学考试成绩,算法框图(图2)中输入的a1,a2,a3,a50为
3、茎叶图中的学生成绩,则输出的m,n分别是()Am38,n12Bm26,n12Cm12,n12Dm24,n1011(3分)在区间0,1上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y”的概率,P2为事件“|xy|”的概率,P3为事件“xy”的概率,则()AP1P2P3BP2P3P1CP3P1P2DP3P2P112(3分)已知a,bR,直线yax+b+与函数f(x)tanx的图象在x处相切,设g(x)ex+bx2+a,若在区间1,2上,不等式mg(x)m22恒成立,则实数m()A有最小值eB有最小值eC有最大值eD有最大值e+1二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分)13(4分)若关于x的二
4、项式(2x+)7的展开式中一次项的系数是70,则a 14(4分)sin30cos15cos150sin15 15(4分)如图,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为 16(4分)已知从点P出发的三条射线PA、PB、PC两两成60角,且分别与球O相切于A、B、C三点,若球O的体积为36,则O、P两点间的距离是 三、解答题(本大题共6小题,满分48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17(6分)已知数列an中,设bnan+1an(1)证明:数
5、列bn是等比数列;(2)设,求数列cn的前n项的和Sn18(6分)如图,在平面四边形ABCD中,AC与BD为其对角线,已知BC1,且cosBCD(1)若AC平分BCD,且AB2,求AC的长;(2)若CBD45,求CD的长19(8分)为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况,某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查,问卷共100道题,每题1分,总分100分,该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按0,20),20,40),40,60),60,80),80,100分成五组,绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为A类学生,低于60分的称为B类学
6、生(1)根据已知条件完成下面22列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否为A类学生有关系?B类A类合计男110女50合计(2)将频率视为概率,现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中A类学生的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,其X的分布列、期望E(X)和方差D(X)参考公式:K2,其中na+b+c+d参考临界值:P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820(8分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,BAD45,P
7、D2,M为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF3FB(1)求证:EF平面ABCD;(2)若平面PDC底面ABCD,且PDDC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值21(10分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在坐标原点O,其右焦点为F(1,0),且点 (1,)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B,M是椭圆上异于A,B的任意一点,直线MF交椭圆C于另一点N,直线MB交直线x4于Q点,求证:A,N,Q三点在同一条直线上22(10分)已知(1)求函数f(x)的极值;(2)设g(x)ln(x+1)ax+ex,对于任意x10,+),x21,+
8、),总有成立,求实数a的取值范围2018-2019学年广东省广州市华南师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,满分36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(3分)已知集合Px|x22x3,Qx|2x4,则PQ()A3,4)B(2,3C(1,2)D(1,3【分析】求出集合P,然后求解交集即可【解答】解:集合Px|x22x3x|x1或x3,Qx|2x4,则PQx|3x43,4)故选:A【点评】本题考查二次不等式的解法,集合的交集的求法,考查计算能力2(3分)下列函数中,既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是()Ayco
9、sxByCy2|x|Dy|lgx|【分析】根据题意,依次分析选项的函数,判定选项中函数的奇偶性、单调性,即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A、ycosx为余弦函数,为偶函数,在区间(0,1)上为减函数,不符合题意;对于B、y,其定义域为0,+),是非奇非偶函数,不符合题意;对于C、y2|x|,为偶函数,在区间(0,+)上为增函数,符合题意;对于D、y|lgx|,其定义域为(0,+),是非奇非偶函数,不符合题意;故选:C【点评】本题考查函数奇偶性单调性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性单调性3(3分)函数y(sinx+cosx)(sinxcosx)的最小正周期是()ABC2D4【
10、分析】由题意利用二倍角公式,余弦函数的周期性,得出结论【解答】解:函数y(sinx+cosx)(sinxcosx)sin2xcos2xcos2x,故它的最小正周期是,故选:B【点评】本题主要考查二倍角公式,余弦函数的周期性,属于基础题4(3分)设Sn为等差数列an的前n项和若S525,a3+a48,则an的公差为()A2B1C1D2【分析】根据题意,由等差数列的前n项和公式可得a1+a2+a3+a4+a55a325,解可得a35,又由a3+a48,可得a43,由等差数列的通项公式分析可得答案【解答】解:根据题意,等差数列an中,若S525,即a1+a2+a3+a4+a55a325,则a35,又
11、由a3+a48,则a43,则等差数列an的公差da4a3352;故选:A【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和的性质,注意等差数列通项公式的应用,属于基础题5(3分)设命题甲:ax2+2ax+10的解集是实数集R;命题乙:0a1,则命题甲是命题乙成立的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系,注意不等式恒成立问题的处理方法【解答】解:ax2+2ax+10的解集是实数集Ra0,则10恒成立a0,则,故0a1由得0a1即命题甲0a1因此甲推不出乙,而乙甲,因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件故选:B【点评】本题
12、考查命题的充分必要性,考查不等式恒成立的等价关系值域数形结合的思想和等价转化的思想的运用6(3分)已知复数z满足(1+i)z|+i|,i为虚数单位,则z等于()A1iB1+iCiD+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案【解答】解:(1+i)z|+i|2,z1i,故选:A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题7(3分)已知两个非零向量,满足,则下面结论正确的是()ABCD【分析】由两个非零向量,满足,可得,展开即可【解答】解:两个非零向量,满足,展开得到故选:B【点评】本题考查了向量的模和数量积运算,属于基础题8(3分)已知双曲线的一条渐近线的倾斜
13、角为,则双曲线的离心率为()ABCD2【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线方程,结合题意求出a、c的值,再计算双曲线的离心率【解答】解:双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则tan,所以该条渐近线方程为yx;所以,解得a;所以c2,所以双曲线的离心率为e故选:A【点评】本题考查了双曲线的渐近线和离心率的应用问题,是基础题9(3分)圆x2+y2+2x+4y30上到直线x+y+10的距离为的点有()A1个B2个C3个D4个【分析】圆x2+y2+2x+4y30可化为(x+1)2+(y+2)28,过圆心平行于直线x+y+10的直线与圆有两个交点,另一条与直线x+y+10的距离为的平行线与圆相切,只有一个交点
14、【解答】解:圆x2+y2+2x+4y30可化为(x+1)2+(y+2)28圆心坐标是(1,2),半径是2;圆心到直线的距离为d,过圆心平行于直线x+y+10的直线与圆有两个交点,另一条与直线x+y+10的距离为的平行线与圆相切,只有一个交点所以,共有3个交点故选:C【点评】本题主要考查了圆的标准方程,直线与圆的位置关系与交点个数问题,属基础题10(3分)如图所示的茎叶图(图1)为高三某班50名学生的化学考试成绩,算法框图(图2)中输入的a1,a2,a3,a50为茎叶图中的学生成绩,则输出的m,n分别是()Am38,n12Bm26,n12Cm12,n12Dm24,n10【分析】算法的功能是计算学
15、生在50名学生的化学考试成绩中,成绩大于等于80的人数,和成绩小于80且大于等于60的人数,根据茎叶图可得【解答】解:由程序框图知:算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中,成绩大于等于80的人数,和成绩小于80且大于等于60的人数,由茎叶图得,在50名学生的成绩中,成绩大于等于80的人数有80,80,81,84,84,85,86,89,90,91,96,98,共12人,故n12,由茎叶图得,在50名学生的成绩中,成绩小于60的人数有43,46,47,48,50,51,52,53,53,56,58,59,共12人,则在50名学生的成绩中,成绩小于80且大于等于60的人数有5012122
16、6,故m26故选:B【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键11(3分)在区间0,1上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y”的概率,P2为事件“|xy|”的概率,P3为事件“xy”的概率,则()AP1P2P3BP2P3P1CP3P1P2DP3P2P1【分析】作出每个事件对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何概型的概率公式进行计算比较即可【解答】解:分别作出事件对应的图象如图(阴影部分):P1:D(0,),F(,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),则阴影部分的面积S1111,S21121,S31+dx+ln+ln2,S2S3S1,即P2
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