2018-2019学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2018-2019学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）i是虚数单位，则的虚部是（）A2B1CiD2i2（5分）用反证法证明“方程ax2+bx+c0（a0）至多有两个解”的假设中，正确的是（）A至少有两个解B有且只有两个解C至少有三个解D至多有一个解3（5分）若抛物线x2ay的焦点到准线的距离为1，则a（）A2B4C2D44（5分）“2a2b”是“a3b3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变

2、量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表：则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性？（）A甲B乙C丙D丁6（5分）二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”执行如图所示的程序框图，若输入x11，x22，d0.1，则输出n的值为（）A2B3C4D57（5分）某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下22的列联表：喜欢该项运动不喜欢该项运动总计男402060女203050总计6050110由公式，算得K27.82附表：p（K2k0）0.0250.010.005k05.0246.635

3、7.879参照附表，以下结论正确的是（）A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”8（5分）（a+b）n（nN*）当n1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式借助上面的表示形式，判断与的值分别是（）A5，9B5，10C6，10D6，99（5分）若函数f（x），af（2），bf（3），cf（5），则（）AbcaBbacCacbDcab10（5分）已知F1，F2是椭圆C：+1（ab0）的左，右

4、焦点，B为椭圆C短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2是等腰三角形，则（）ABCD311（5分）函数f（x）x2+xsinx的图象大致为（）ABCD12（5分）已知双曲线，过x轴上点p的直线l与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN，若MPO60，MNQ30，则该双曲线的离心率为（）ABC2D4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13（5分）曲线yxex+2x1在点（0，1）处的切线方程为 14（5分）若命题“x0R，”是假命题，则实数a的取值范围是 15（5分）要设计一容积

5、为的下端为圆柱形，上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面积的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球的单位面积造价又是圆柱侧面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的地面半径R 时，造价最低16（5分）有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了”甲接着说：“哦，现在我也知道了”请问，张老师

6、的生日是 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）求证：18（12分）已知复数z（a+i）2，w43i其中a是实数，（1）若在复平面内表示复数z的点位于第一象限，求a的范围；（2）若是纯虚数，a是正实数，求a，求19（12分）某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如表：月份123456广告投入量24681012收益14.2120.3131.831.1837.8344.67他们分别用两种模型ybx+a，yaebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示

7、的残差图及一些统计量的值；xiyix7301464.24364（）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：（i）剔除异常数据后求出（）中所选模型的回归方程：（）若广告投入量x18时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，20（12分）已知圆O：x2+y2r2，椭圆C：的短半轴长等于圆O的半径，且过C右焦点的直线与圆O相切于点（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l与圆O相切，且与C相交于A，B两点，求点O到弦AB的垂直平

8、分线距离的最大值21（12分）设函数（1）求f（x）的单调区间；（2）若对于任意x1，x2m，m（m0），都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范围请考生资22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求C的极坐标方程；（2）设点M （2，1），直线l与曲线C相交于点A，B，求|MA|MB|的值选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|3x+2|（1）求f（x）1的解集；（2）若f（x2）a|x|恒成立，求实数a的最大值

9、2018-2019学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）i是虚数单位，则的虚部是（）A2B1CiD2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，的虚部是1故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）用反证法证明“方程ax2+bx+c0（a0）至多有两个解”的假设中，正确的是（）A至少有两个解B有且只有两个解C至少有三个解D至多有一个解【分析】把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求【

10、解答】解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题：“方程ax2+bx+c0（a0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”，故选：C【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题3（5分）若抛物线x2ay的焦点到准线的距离为1，则a（）A2B4C2D4【分析】根据抛物线的几何性质可得【解答】解：x2ay2y，p|1，a2，故选：C【点评】本题考查了抛物线的性质，属基础题4（5分）“2a2b”是“a3b3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由指数

11、函数与幂函数的单调性结合充分必要条件的判定方法得答案【解答】解：由2a2b，得ab，a3b3，反之，由a3b3，得ab，则2a2b“2a2b”是“a3b3”的充要条件故选：C【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查指数函数与幂函数的单调性，是基础题5（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性？（）A甲B乙C丙D丁【分析】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，

12、残差平方和越小，相关性越强，得到结果【解答】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大，残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，故选：D【点评】本题考查两个变量的线性相关，本题解题的关键是了解相关系数和残差平方和两个量对于线性相关的刻画6（5分）二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”执行如图所示的程序框图，若输入x11，x22，d0.1，则输出n的值为（）A2B3C4D5【分析】按照用二分法求函数零点近似值得步骤求解即可注意验证精确度

13、的要求【解答】解：模拟程序的运行，可得n1，x11，x22，d0.1，令f（x）x22，则f（1）10，f（2）20，m1.5，f（1.5）0.250，满足条件f（m）f（x1）0，x21.5，此时|1.51|0.50.1，不合精确度要求n2，m1.25，f（1.25）0.43750不满足条件f（m）f（x1）0，x11.25，此时|1.51.25|0.250.1，不合精确度要求n3，m1.375，f（1.375）0.1090不满足条件f（m）f（x1）0，x11.375，此时|1.51.375|0.1250.1，不合精确度要求n4，m1.4375，f（1.4375）0.0660满足条件f（m

14、）f（x1）0，x21.4375，此时|1.43751.375|0.06250.1，符合精确度要求退出循环，输出n的值为4故选：C【点评】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法7（5分）某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下22的列联表：喜欢该项运动不喜欢该项运动总计男402060女203050总计6050110由公式，算得K27.82附表：p（K2k0）0.0250.010.005k05.0246.6357.879参照附表，以下结论正确的是（

15、）A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”【分析】直接由已知K2的值结合临界值表得答案【解答】解：K27.86.635，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选：D【点评】本题考查独立检验，由对应关系转化表述方法是解决问题的关键，属基础题8（5分）（a+b）n（nN*）当n1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形

16、式借助上面的表示形式，判断与的值分别是（）A5，9B5，10C6，10D6，9【分析】直接根据题意即可求出【解答】解：结合题意可得3+36，4+610，故选：C【点评】本题考查了二项式定理，属于基础题9（5分）若函数f（x），af（2），bf（3），cf（5），则（）AbcaBbacCacbDcab【分析】可以得出，从而得出ca，同样的方法得出ab，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：，；ca，且ab；cab故选：D【点评】考查对数的运算性质，对数函数的单调性10（5分）已知F1，F2是椭圆C：+1（ab0）的左，右焦点，B为椭圆C短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2

17、是等腰三角形，则（）ABCD3【分析】设|AF1|t（t0），由已知条件得出|AB|AF2|，结合椭圆的定义得出，可求出|AF1|和|AF2|，于是可求出答案【解答】解：设|AF1|t（t0），由椭圆的定义可得|AF2|2at，由题意可知，|AF2|BF2|a，由于BAF2是等腰三角形，则|AB|AF2|，即a+t2at，所以，所以，因此，故选：A【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，解决本题的关键在于灵活利用椭圆的定义，属于中等题11（5分）函数f（x）x2+xsinx的图象大致为（）ABCD【分析】根据函数的奇偶性排除B，再根据函数的单调性排除C，D，问题得以解决【解答】解：函数f（x）x

18、2+xsinx是偶函数，关于y轴对称，故排除B，令g（x）x+sinx，g（x）1+cosx0恒成立，g（x）在R上单调递增，g（0）0，f（x）xg（x）0，故排除D，当x0时，f（x）xg（x）单调递增，故当x0时，f（x）xg（x）单调递减，故排除C故选：A【点评】本题考查了函数图象识别和应用，考查了导数和函数单调性的关系，属于中档题12（5分）已知双曲线，过x轴上点p的直线l与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN，若MPO60，MNQ30，则该双曲线的离心率为（）ABC2D4【分析】由题意可得M，Q关于原点对称，即可得到kMN

19、kQN，分别求出相对应的斜率，再根据离心率公式即可求出【解答】解：M，Q关于原点对称，kMNkQN，kMN，kQN，1，e，故选：A【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及离心率的计算，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13（5分）曲线yxex+2x1在点（0，1）处的切线方程为y3x1【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可【解答】解：yex+xex+2，y|x03，切线方程为y+13（x0），y3x1故答案为：y3x1【点评】本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运

20、算法则，本题属于基础题14（5分）若命题“x0R，”是假命题，则实数a的取值范围是【分析】写出原命题的否定，再由判别式法列式求解【解答】解：命题“x0R，”的否定为“xR，3x2+2ax+10”，命题“x0R，”是假命题，“xR，3x2+2ax+10”为真命题，则4a2120，解得实数a的取值范围是：故答案为：【点评】本题考查命题的否定与真假判断，考查数学转化思想方法，是基础题15（5分）要设计一容积为的下端为圆柱形，上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面积的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球的单位面积造价又是圆柱侧面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的地面半径R时，造价最低【分

21、析】分析题意可知需要设圆柱的高为h，底面半径为R，总造价为y，下底面的单位面积造价为2a，知道总容积可得R2h+，则h建立关于总造价y的函数yR22a+2Rh2+2R2化简整理得到ya（+）利用基本不等式即可得到答案【解答】解：由题意可设圆柱的高为h，底面半径为R，总造价为y，下底面的单位面积造价为2a则R2h+，解得hyR22a+2Rh2+2R23aR2+a（+）a33a当且仅当时等号成立，造价最小解得R故答案为：【点评】本题考查利用函数解决实际问题、分析问题读懂题意是关键，建立函数模型是难点；通常这种类型的问题求最值有两种思路；一种利用函数的性质求最值，一种利用基本不等式，利用基本不等式一

22、定要注意取等号的条件本题属于中档题16（5分）有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了”甲接着说：“哦，现在我也知道了”请问，张老师的生日是3月2日【分析】甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除五个日期，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，再排除2个日期，由此能求出结果【

23、解答】解：甲只知道生日的月份，而给出的每个月都有两个以上的日期，甲说“我不知道”，根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，由甲知道5月、7月是不正确，可排除5月5日、5月8日、7月2日，7月6日，7月9日；乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，而剩余的5个日期中乙能确定生日，说明一定不是7日，排除2月7日、3月7日，甲接着说“哦，现在我也知道了”，现在可以得知张老师生日为3月2日故答案为：3月2日【点评】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确解题的关键是读懂题意，能够根据叙述合理运用排除法进行求解三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文

24、字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）求证：【分析】利用分析法推出使结论成立的充分条件即可【解答】证明：，即证明，左右两边同时平方，左边，右边，则 左边右边即 所以【点评】本题考查分析法的应用，不等式的证明，考查计算能力以及逻辑推理能力18（12分）已知复数z（a+i）2，w43i其中a是实数，（1）若在复平面内表示复数z的点位于第一象限，求a的范围；（2）若是纯虚数，a是正实数，求a，求【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均大于0求解；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，求得a值，再由等比数列的前n项和及虚数单位i的性质求解【解答】解：（1）z（a+i）2a2+

25、2ai+i2a21+2ai在复平面内表示的点位于第一象限，解得a1；（2）依题意得：是纯虚数，4a26a40，即（2a+1）（a2）0，解得（舍）或a22（a0），当a2时，【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是中档题19（12分）某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如表：月份123456广告投入量24681012收益14.2120.3131.831.1837.8344.67他们分别用两种模型ybx+a，yaebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差

26、图及一些统计量的值；xiyix7301464.24364（）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：（i）剔除异常数据后求出（）中所选模型的回归方程：（）若广告投入量x18时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【分析】（）根据残差图分析，得出模型残差波动小，故选模型；（）（i）剔除异常数据，计算剩下数据的平均数，求出回归系数，写出回归方程；（）把x18代入回归方程，即可求得该模型收益的预报值【解答】解：（）由于模型

27、残差波动小，应该选择模型；（）（i）剔除异常数据，即组号为3的数据，剩下数据的平均数为（766）7.2，（30631.8）29.64；206.4，68.8，29.6437.28.04所选模型的回归方程为；（）若广告投入量x18时，该模型收益的预报值是318+8.0462.04【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题20（12分）已知圆O：x2+y2r2，椭圆C：的短半轴长等于圆O的半径，且过C右焦点的直线与圆O相切于点（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l与圆O相切，且与C相交于A，B两点，求点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值【分析】（1）由条件知b2r2（）2+（）21，

28、由题意知，c2，从而a2b2+c25，即可得椭圆C的方程 （2）设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d，若直线lx轴，弦AB的垂直平分线为x轴，所以d0；若直线ly轴，弦AB的垂直平分线为y轴，所以d0设直线l的方程为ykx+m，可得|m|，由，消去y得（1+5k2）x2+10kmx+5m250求得AB中点的坐标为（，），弦AB的垂直平分线方程为y，即可得d，利用基本不等式即可求得最大值【解答】解：（1）由条件知r2（）2+（）21，（1分）所以b1（2分）过点D且与圆O相切的直线方程为：y（x），即x+y20（3分）令y0得，x2，由题意知，c2，从而a2b2+c25（4分）所以椭圆C的方程为

29、：（5分） （2）解法一：设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d，若直线lx轴，弦AB的垂直平分线为x轴，所以d0；若直线ly轴，弦AB的垂直平分线为y轴，所以d0（6分）设直线l的方程为ykx+m（x0），因为l与圆O相切，所以1，即|m|（7分）由，消去y得（1+5k2）x2+10kmx+5m250设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理知：，（8分）所以AB中点的坐标为（，），所以弦AB的垂直平分线方程为y，即x+ky+（9分）所以d（10分）将|m|代入d得d，（当且仅当|k|，时，取等号）（11分）综上所述，点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值为（12分）【点评】本题考查椭圆的

30、标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题21（12分）设函数（1）求f（x）的单调区间；（2）若对于任意x1，x2m，m（m0），都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范围【分析】（1）求出原函数的导函数，可得当x（，0）时，f（x）0；当x（0，+）时，f（x）0，从而可得原函数的单调区间；（2）由（1）知，f（x）在m，0上单调递减，在0，m上单调递增，可得f（x）在x0处取得最小值，且f（0）1对于任意的x1，x2m，m，|f（x1）f（x2）|e1的充要条件为，即，构造函数函数g（t）ett，利用导数证明当m（

31、0，1时，g（m）g（1）e1，g（m）g（1）e1+1e1，则m的取值范围可求【解答】解：（1），当x（，0）时，；当x（0，+）时，f（x）的单调递减区间是（，0），单调递增区间是（0，+）；（2）由（1）知，f（x）在m，0上单调递减，在0，m上单调递增，故f（x）在x0处取得最小值，且f（0）1对于任意的x1，x2m，m，|f（x1）f（x2）|e1的充要条件为，即设函数g（t）ett，则g（t）et1当t0时，g（t）0；当t0时，g（t）0，故g（t）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增又g（1）e1，g（m）emm，g（m）em+m，当m（0，1时，g（m）g（1）e1，

32、g（m）g（1）e1+1e1，即式成立，综上所述，m的取值范围是（0，1【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题请考生资22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求C的极坐标方程；（2）设点M （2，1），直线l与曲线C相交于点A，B，求|MA|MB|的值【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果（2）利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应

33、用求出结果【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为（为参数），得普通方程（x4）2+（y3）24，所以极坐标方程28cos6sin+210（2）设点A、B对应的参数分别为t1、t2，将直线l的参数方程为（t为参数），转换为（t为参数），代入（x4）2+（y3）24，得到：，所以：t1t24则：|MA|MB|t1t2|4【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|3x+2|（1）求f（x）1的解集；（2）若f（x2）a|x|恒成立，求实数a的最大值【分析】（1）去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为，根据基本不等式的性质求出a的最大值即可【解答】解：（1）由f（x）1得|3x+2|1，所以13x+21，解得，所以，f（x）1的解集为（5分）（2）f（x2）a|x|恒成立，即3x2+2a|x|恒成立当x0时，aR；当x0时，因为（当且仅当，即时等号成立），所以，即a的最大值是（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题