2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（下）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题有且只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上1（5分）复平面内，复数z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）若（2x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则实数a的值为（）A2B2C1D13（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2ax+b0至多有一个实根”时，则下列假设中正确的是（）A方程x2ax+b0没有实根B方程x2ax+b0至多有一个实根C方程x2ax+b0恰好有两个实数根D方程x2ax+b0至多有

2、两个实根4（5分）己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：若求得其线性回归方程为6.5x+，其中，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（）A42万元B45万元C48万元D51万元5（5分）已知函数f（x），则曲线yf（x）在x1处的切线的倾斜角为（）ABCD6（5分）已知某随机变量服从正态分布N（1，2），且P（01）0.3，则P（2）（）A0.8B0.75C0.7D0.67（5分）已知x是函数f（x）x（lnax+1）的极值点，则实数a的值为（）ABC1De8（5分）已知随机变量x的分布列表如表，且随机变量y2x+3，则y的期望是（）x101pmABCD39（5分）某班某天上午有五节

3、课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A60B48C36D2410（5分）已知函数f（x）的图象如图，设f（x）是f（x）的导函数，则（）Af（2）f（3）f（3）f（2）Bf（3）f（2）f（3）f（2）Cf（3）f（2）f（2）f（3）Df（3）f（3）f（2）f（2）11（5分）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）ABCD12（5分）已知函数f（x）对xR有f（x）+f（x）2cosx，且f（x）+s

4、inx0，若角满足不等式f（+）+f（）0，则的取值范围是（）A（，B（，C，D0，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）定积分dx的值等于   14（5分）已知cos，coscos，coscoscos，根据上述等式的规律，可猜想出一般性的结论是   15（5分）已知a0，3，若（x2+）6展开式的常数项的值不大于15，则a取值范围为   16（5分）若2xlnxx2+ax3对一切x（0，+）恒成立，则a的取值范围为   三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）已知i为虚数单位，m为

5、实数，复数z（m+i）（12i）（）m为何值时，z是纯虚数；（）若|z|5，求|z1|的取值范围18（12分）已知函数f（x）lnx+，kR（）若k2，求函数f（x）的单调区间（）若不等式f（x）3恒成立，求实数k的取值范围19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足an1，且4Sn（an+1）2，nN*（）求a1，a2，a3的值；（）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法予以证明20（12分）2019年6月13日，三届奥运亚军，羽坛传奇，马来西亚名将李宗伟宣布退役，当大有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数

6、，再把网友人数按留言条数分成6组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50），50，60，得到如图所示的频率分布直方图：并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为一般关注”，对这100名网友进一步统计，得到部分数据如下的列联表（I）在答题卡上补全22列联表中数据，并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？一般关注强烈关注合计男45女1055合计100（）论坛欲在上述“强烈关注的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，并在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为，求的分布列与数学期望参考公式与数据：K2，其中na+b+c+dP

7、（K2k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.005k02.0722.0763.8415.0246.6357.87921（12分）已知函数f（x）x2axlnx，g（x）（1）x（）若函数f（x）恰有一个极值点，求实数a的取值范围：（）当a（1，0），且x（0，+）时，证明：g（x），（常数e2.718，e是自然对数的底数）请考生在第22、23题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），

8、曲线C1：y，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（）（）若点P（x0，y0）在曲线C1上，求x0+y0的取值范围；（）设直线l与曲线C2交于M、N两点，点Q的直角坐标为（2，1），求|QM|QN|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）3|x|+|3x|（）求f（x）的最小值；（）若不等式f（x）5的解集为M，且a，bM，证明：aba+b12018-2019学年广东省深圳市南山区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题有且只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡

9、上1（5分）复平面内，复数z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到a+bi的形式，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到位置【解答】解：复数1+i复数的在复平面内的对应点（1，1）在复平面内，复数对应的点位于第一象限故选：A【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题2（5分）若（2x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则实数a的值为（）A2B2C1D1【分析】根据题意，用特殊值法，在（2x3）（x+a）5中，令x1可得（

10、21）（1+a）532，解可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，（2x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，令x1可得：（21）（1+a）532，解可得：a1，故选：D【点评】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用3（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2ax+b0至多有一个实根”时，则下列假设中正确的是（）A方程x2ax+b0没有实根B方程x2ax+b0至多有一个实根C方程x2ax+b0恰好有两个实数根D方程x2ax+b0至多有两个实根【分析】由二次方程实根的分布，可设方程x2ax+b0恰好有两个实根【解答】解：证明“设a，b为实数，则方程x2ax+b0至多有一个

11、实根”，由反证法的步骤可得第一步假设方程x2ax+b0恰好有两个实根，故选：C【点评】本题考查反证法的运用，注意解题步骤，以及假设及否定的叙述，考查推理能力，属于基础题4（5分）己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：x（单位：万元）01234y（单位：万元）1015203035若求得其线性回归方程为6.5x+，其中，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（）A42万元B45万元C48万元D51万元【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，则线性回归方程可求，取x6求得y值即可【解答】解：，样本点的中心的坐标为（2，22），代入，得y关于x得线性回归方程为y6.5x+9

12、取x6，可得y6.56+948（万元）故选：C【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题5（5分）已知函数f（x），则曲线yf（x）在x1处的切线的倾斜角为（）ABCD【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得所求倾斜角【解答】解：函数f（x）的导数为f（x），可得yf（x）在x1处的切线的斜率为k1，即tan1，为倾斜角，可得故选：B【点评】运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，是解题的关键6（5分）已知某随机变量服从正态分布N（1，2），且P（01）0.3，则P（2）（）A0.8B0.75C0.7D0.6【分析】直接利用

13、正态分布曲线的对称性求解【解答】解：N（1，2），且P（01）0.3，P（2）P（0）P（1）P（01）0.50.30.2P（2）1P（2）10.20.8故选：A【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题7（5分）已知x是函数f（x）x（lnax+1）的极值点，则实数a的值为（）ABC1De【分析】利用函数的导数和函数f（x）x（lnax+1）取极值点x时导函数为0可求得a的值【解答】解：函数f（x）x（lnax+1）的极值点，所以：f（x）（lnax+1）+12+lnax；因为x是函数f（x）x（lnax+1）的极值点，则

14、：f（）2+lna0；所以：lna2；解得：a；则实数a的值为；故选：B【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题8（5分）已知随机变量x的分布列表如表，且随机变量y2x+3，则y的期望是（）x101pmABCD3【分析】由随机变量X的分布列求出a，求出E（X），由Y2X+3，得E（Y）2E（X）+3，由此能求出结果【解答】解：由随机变量X的分布列得：+a1，解得a，E（X）1+0+1，Y2X+3，E（Y）2E（X）+3+3故选：B【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程

15、思想，是基础题9（5分）某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A60B48C36D24【分析】由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为24，得解【解答】解：先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为24，故选：D【点评】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题10（5分）已知函数f（x）的图象如图，设f（x）是f（x）的导函数，则（）Af（2）f（3）f（3）f（2）Bf（3

16、）f（2）f（3）f（2）Cf（3）f（2）f（2）f（3）Df（3）f（3）f（2）f（2）【分析】由题意，分析f（3）、f（3）f（2）、f（2）所表示的几何意义，结合图形分析可得答案【解答】解：根据题意，由导数的几何意义：f（3）表示函数在x3处切线的斜率，f（2）表示函数在x2处切线的斜率，f（3）f（2），为点（2，f（2）和点（3，f（2）连线的斜率，结合图象可得：0f（3）f（3）f（2）f（2），故选：D【点评】本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率比较，属于基础题11（5分）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生

17、，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率【解答】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m12，小明恰好分配到甲村小学的概率为p故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（5分）已知函数f（x）对xR有f（x）+f（x）2cosx，且f（x）+sinx0，若角满足不等式f（+）+f（）0，则的取

18、值范围是（）A（，B（，C，D0，【分析】构造函数g（x）f（x）cosx，xR角满足不等式f（+）+f（）0，即f（+）cos（+）f（）cos，即g（+）g（）g（），利用已知可得其奇偶性与单调性，即可得出【解答】解：构造函数g（x）f（x）cosx，xR由f（x）+f（x）2cosx，化为：f（x）cosxf（x）cos（x），g（x）g（x），函数g（x）为R上的奇函数则g（x）f'（x）+sinx0，g（x）在R上单调递减若角满足不等式f（+）+f（）0，即f（+）cos（+）f（）cos，即g（+）g（）g（），+，解得故选：A【点评】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单

19、调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）定积分dx的值等于ln2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：ln2，故答案为：ln2【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题14（5分）已知cos，coscos，coscoscos，根据上述等式的规律，可猜想出一般性的结论是coscoscos【分析】根据题意，分析所给的等式可得：对于第n个等式，等式左边为n个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到n，分母为（2n+1），右式为；将规律表示出来可得答案【解答】解：根据题意

20、，分析所给的等式可得：cos，可化为coscoscos，可化为coscoscoscoscos，可化为coscoscos；则一般的结论为coscoscos；故答案为coscoscos【点评】本题考查归纳推理的运用，解题的关键在于发现3个等式的变化的规律15（5分）已知a0，3，若（x2+）6展开式的常数项的值不大于15，则a取值范围为（0，1【分析】由二项式定理及展开式通项得：15a415，又a0，3，所以0a1，又a0时，展开式无常数项，即a取值范围为0a1，得解【解答】解：由二项式定理可得：（x2+）6展开式的常数项为（x2）2（）415a4，又（x2+）6展开式的常数项的值不大于15，则1

21、5a415，又a0，3，所以0a1，又a0时，展开式无常数项，即a取值范围为0a1，故答案为：（0，1【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题16（5分）若2xlnxx2+ax3对一切x（0，+）恒成立，则a的取值范围为（，4）【分析】由题意可得a2lnx+x+恒成立，设g（x）2lnx+x+，求得导数和单调性、极值和最值，即有a小于最小值【解答】解：2xlnxx2+ax3对一切x（0，+）恒成立，可得a2lnx+x+恒成立，设g（x）+1，x0，当x1时，g（x）0，g（x）递增；0x1时，g（x）0，g（x）递减，可得x1处g（x）取得极小值，且为最小值4，可得a4故答案为：（，

22、4）【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和导数的运用，考查运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）已知i为虚数单位，m为实数，复数z（m+i）（12i）（）m为何值时，z是纯虚数；（）若|z|5，求|z1|的取值范围【分析】（）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m的值；（）由题意画出图形，数形结合得答案【解答】解：（）z（m+i）（12i）（m+2）+（12m）i当时，即m2时，z是纯虚数；（）由|z|5，可知z的轨迹为以原点为圆心，以5为半径的圆及其内部，如图，则|z1|的取值

23、范围是0，6【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题18（12分）已知函数f（x）lnx+，kR（）若k2，求函数f（x）的单调区间（）若不等式f（x）3恒成立，求实数k的取值范围【分析】（）利用导数求单调区间；（）属于可以分参的类型，所以用分参解题【解答】解：（）f（x）lnx+，f'（x）所以当x2时，f'（x）0，f（x）单调递增；当0x2时，f'（x）0，f（x）单调递减综上，f（x）的单调递增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（）f（x）3kx（3lnx）e2令g（x）x（3lnx）e2，则

24、kg（x）在x（0，+）恒成立g'（x）2lnx，当xe2时，g'（x）0，g（x）单调递增；当0xe2时，g'（x）0，g（x）单调递减所以g（x）的最大值在xe2时取得，g（e2）0所以k0【点评】（1）是函数导数的应用，（2）是函数恒成立问题，使用分参来解决，属于基础问题基础方法19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足an1，且4Sn（an+1）2，nN*（）求a1，a2，a3的值；（）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法予以证明【分析】（）利用4Sn（an+1）2代入计算，可得结论；（）猜想an2n1，然后利用归纳法进行证明，检验n1时等式成立，假设n

25、k时命题成立，证明当nk+1时命题也成立【解答】解：（）an1，且4Sn（an+1）2，当n1时，a11，当n2时，a23，或a21（舍），当n3时，a35，或a33（舍），a11，a23，a35；（）由（）猜想an2n1，下面用数学归纳法证明：（1）当n1时，a11，显然成立，（2）假设nk时，结论成立，即ak2k1，则当nk+1时，由4Sk（ak+1）2，有，ak+12k+1，或ak+12k+1（舍），nk+1时结论成立，由（1）（2）知，当nN*，an2n1均成立【点评】本题考查了归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n1成立；（2）假设nk成立；（3）利用已知条件证明nk+1也成

26、立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法，属中档题20（12分）2019年6月13日，三届奥运亚军，羽坛传奇，马来西亚名将李宗伟宣布退役，当大有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50），50，60，得到如图所示的频率分布直方图：并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为一般关注”，对这100名网友进一步统计，得到部分数据如下的列联表（I）在答题卡上补全22列联表中数据，并判断能否有95%的把握认为网友对

27、此事件是否为“强烈关注”与性别有关？一般关注强烈关注合计男45女1055合计100（）论坛欲在上述“强烈关注的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，并在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为，求的分布列与数学期望参考公式与数据：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.005k02.0722.0763.8415.0246.6357.879【分析】（）根据频率分布直方图中的频率，计算强烈关注的频率进而得到强烈关注的人数，结合表中的数据即可得到其余数据，补全列联表，根据列联表中的数据计算K2的值，结合临界值表中的数据判断即可（）的可能

28、取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望E（）【解答】解：（）根据频率分布直方图得，网友强烈关注的频率为10（0.020+0.005）0.25，所以强烈关注的人数为1000.2525，因为强烈关注的女行有10人，所以强烈关注的男性有15人，所以一般关注的男性有451530人，一般关注的女性有551045人，所以22列联表如下：一般关注强烈关注合计男301545女451055合计7525100由22列联表中数据可得：K23.0303.841所以没有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关（）论坛欲在上述“强烈关注的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，则

29、抽中女性网友：52人，抽中男性网友：53人，在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为，则的可能取值为0，1，2，P（0），P（1），P（2），的分布列为： 0 12 P 数学期望E（）0+1+2【点评】本题考查独立性检验、根据频率分布直方图求估计数据的中位数、22列联表等知识、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知函数f（x）x2axlnx，g（x）（1）x（）若函数f（x）恰有一个极值点，求实数a的取值范围：（）当a（1，0），且x（0，+）时，证明：g（x），（常数e2.718，e是自然对数的底数）【分析】（）f（x）2xa（lnx

30、+1），等价于方程2xa（lnx+1）0在（0，+）恰有一个变号零点即在（0，+）恰有一个变号零点令g（x），利用 函数g（x）图象即可求解 （）要证明：g（x） 只需证明alnx，即证明lnx要证明g（x），即证明利用导数即可证明【解答】解：（）f（x）x2axlnx，（x0），f（x）2xa（lnx+1），函数f（x）恰有一个极值点，方程2xa（lnx+1）0在（0，+）恰有一个变号零点在（0，+）恰有一个变号零点令g（x），则g（x）可得x（0，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递增，x（1，+）时，g（x）0，函数g（x）单调递减函数g（x）草图如下，可得，a0实数a的取值范围为（，

31、0）：（）要证明：g（x）证明xalnx（1）x证明alnx，即证明lnx令h（x）lnx则h（x），x（0，e）时，h（x）0，函数h（x）递增，x（e，+）时，h（x）0，h（x）递减h（x）h（e）0，即原不等式成立要证明g（x），即证明a（1，0），1故只需证明即可令G（x），则G（x）x（0，2）时，G（x）0，函数G（x）递增，x（2，+）时，G（x）0，函数G（x）递减，又，故原不等式成立综上，g（x），【点评】本题考查了函数的极值、单调性，考查了函数不等式的证明、分析法证明不等式，属于中档题请考生在第22、23题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个

32、题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1：y，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（）（）若点P（x0，y0）在曲线C1上，求x0+y0的取值范围；（）设直线l与曲线C2交于M、N两点，点Q的直角坐标为（2，1），求|QM|QN|的值【分析】（）根据条件可得x0+y0，设，则然后求出范围即可；（）利用方程之间的关系式，利用一元二次方程根和系数关系式求出结果【解答】解：（）P（x0，y0）在曲线C1上，x0+y0，设，x0

33、+y0的取值范围；（）曲线C2的直角坐标方程为：（x+2）2+（y2）28直线l的标准参数方程为（t为参数），代入C2得：设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，t1t270故t1，t2异号，|QM|QN|t1+t2|【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属基础题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）3|x|+|3x|（）求f（x）的最小值；（）若不等式f（x）5的解集为M，且a，bM，证明：aba+b1【分析】（1）根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，分段求出函数的最小值，综合3种情况即可得答案；（2）根据题意，分3种情况讨论，求出不等式f（x）5的解集，又由a，bM，可得a10，b10，分析可得（a1）（b1）0，变形即可得结论【解答】解：（）f（x）3|x|+|3x|，f（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，f（x）minf（0）3（）若f（x）5，则，或，或，x1，M（，1），a，bM，a10b10，（a1）（b1）0，即aba+b1【点评】本题考查分段函数的应用和绝对值不等式的解法，考查了转化思想，属中档题