2019-2020学年广东省广州市荔湾区高二（上）开学数学试卷（9月份）含详细解答

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1、一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（5分）下列六个关系式：a，bb，aa，bb，a00000其中正确的个数为（）A6个B5个C4个D少于4个2（5分）若（1，2），（1，0）则与夹角的余弦值为（）ABCD13（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）Af（x）2x1，g（u）2u1Byx0，y1Cyx2，yxDyx1，y4（5分）设a，bR，下列不等式中一定成立的是（）Aa2+32aBa2+b20Ca3+b3a2b+ab2Da+25（5分）下列四条直线，其倾斜角最大的是（）Ax+2y+30B2xy+10Cx+y+10Dx+1

2、06（5分）使数列的自然数n的最小值为（）A8B9C10D117（5分）将函数ycosx+sinx（xR）的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）ABCD8（5分）在直角坐标平面上，点P（x，y）的坐标满足方程x22x+y20，点Q（a，b）的坐标满足方程a2+b2+6a8b+240则的取值范围是（）A2，2B，C3，D9（5分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，ACB90，BCCC11，P为BC1上的动点，则CP+PA1的最小值为（）ABC5D10（5分）已知函数f（x），则方程f（x+2）a（aR）的实数根个数不可能（）A

3、5个B6个C7个D8个11（5分）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）AB（0，1）CD（1，0）12（5分）数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC的顶点B（1，0），C（0，2），ABAC，则ABC的欧拉线方程为（）A2x4y30B2x+4y+30C4x2y30D2x+4y30二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）过ABC所在平面外一点，作PO，垂

4、足为O，连接PA，PB，PC若PAPBPC，则点O是ABC的   心14（5分）圆心为两直线x+y20和x+3y+100的交点，且与直线x+y40相切的圆的标准方程是   15（5分）已知sin是方程5x27x60的根，是第三象限角，则tan2（）   16（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测b2020是数列an中的第   项三、解答题：本大题共6小题，共70分17（10分）设直线

5、l的方程为（a1）x+y+a+30，（aR）（1）若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第一象限，求实数a的取值范围18（12分）在等差数列an中，a1018，前5项的和S515（1）求数列an的通项公式；  （2）求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小19（12分）设向量（+2，2cos2），（m，+sincos），其中，m，为实数（1）若，求|的最小值；（2）若2，求的取值范围20（12分）一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱（1）求圆锥的侧面积（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最

6、大值21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BCBC1，ABBC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点（1）求证：EF面BCC1B1； （2）求证：BE面AB1C1；（3）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG平面ABB1A1，证明你的结论22（12分）对函数（x），定义fk（x）（xmk）+nk（其中x（mk，m+mk，kZ，m0，n0，且m、n为常数）为（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3（1）当（x）2x时求f0（x）和fk（x）的解析式；求证：（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线；（2）若（x）x2，则是否存在正整数k，使得

7、不等式fk（x）（13k）x+4k2+3k1有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由2019-2020学年广东省实验中学高二（上）开学数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（5分）下列六个关系式：a，bb，aa，bb，a00000其中正确的个数为（）A6个B5个C4个D少于4个【分析】本题利用元素与集合的关系进行判断，以及集合自身是自身的子集、空集是任何集合的子集进行判定即可【解答】解：根据集合自身是自身的子集，可知正确；根据集合无序性可知正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知不正确

8、；根据元素与集合之间可知正确；根据空集是任何集合的子集可知正确故选：C【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及集合子集的判定，属于基础题2（5分）若（1，2），（1，0）则与夹角的余弦值为（）ABCD1【分析】根据向量的坐标即可求出，从而可求出向量与夹角的余弦值【解答】解：；故选：A【点评】考查根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式3（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）Af（x）2x1，g（u）2u1Byx0，y1Cyx2，yxDyx1，y【分析】只要两函数的定义域相同，对应关系相同即可，与自变量用哪一个符号表示没有关系就是相同的函数，对

9、选项一一加以判断即可得到答案【解答】解：对于Af（x）2x1，g（u）2u1，定义域相同均为R，对应法则一样，故A中两个函数表示同一函数；对于Byx01（x0）与y1（xR），两个函数的定义域不一致，故B中两个函数不表示同一函数；对于Cyx2，（xR）与yxx|x|（xR），两个函数的定义域一致，对应法则不一样，故C中两个函数不表示同一函数；对于Dyx1与y，y|x1|，两个函数的解析式不一致，故D中两个函数不表示同一函数故选：A【点评】本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，熟练掌握判断两个函数是否为同一函数的方法，正确理解两个函数表示同一函数的概念是解答本题的关键4（5分）设a，bR

10、，下列不等式中一定成立的是（）Aa2+32aBa2+b20Ca3+b3a2b+ab2Da+2【分析】利用不等式的基本性质即可判断出【解答】解：A：将不等式转化为a22a+3（a1）2+20恒成立，A对B：a2+b20，B错C：将不等式转化为a2（ab）+b2（ba）（ab）（a2b2）（ab）2（a+b）不一定大于等于0，C错D：如果想要用基本不等式，需要满足a0，D错故选：A【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题5（5分）下列四条直线，其倾斜角最大的是（）Ax+2y+30B2xy+10Cx+y+10Dx+10【分析】根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可

11、得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、x+2y+30，其斜率k1，倾斜角1为钝角，对于B、2xy+10，其斜率k22，倾斜角2为锐角，对于C、x+y+10，其斜率k31，倾斜角3为135，对于D、x+10，倾斜角4为90，而k1k3，故13，故选：A【点评】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系6（5分）使数列的自然数n的最小值为（）A8B9C10D11【分析】令数列前n项积为Tn，则Tn，令，可得答案【解答】解：令数列前n项积为Tn，则Tn，令，即n2+n110当n10时，n2+n110，当n11时，n2+n110故选：D【点评】本题考查的知识点是数列

12、的概念，等差数列求和，难度中档7（5分）将函数ycosx+sinx（xR）的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）ABCD【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得m的最小值【解答】解：将函数ycosx+sinx2sin（x+）（xR）的图象向左平移m（m0）个单位长度后得到y2sin（x+m+），所得到的图象关于y轴对称，则m+k+，kZ，即mk+，故m的最小值为；故选：C【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题8（5分）在直角坐标平面上，点P（x，y）的坐标满足

13、方程x22x+y20，点Q（a，b）的坐标满足方程a2+b2+6a8b+240则的取值范围是（）A2，2B，C3，D【分析】利用配方法，求出P，Q的轨迹，结合两点斜率公式得到的几何意义为PQ的斜率，利用数形结合得到斜率的最大值和最小值对应两圆的内公切线，结合直线和圆相切的等价条件求出斜率即可【解答】解：由x22x+y20得（x1）2+y21，即P的轨迹是以B（1，0）为圆心半径为1的圆，由a2+b2+6a8b+240得（a+3）2+（b4）21，即Q的轨迹是以A（3，4）为圆心半径为1的圆，的几何意义为PQ的斜率，由图象知，PQ斜率的最值为两圆的内公切线，A，B的中点C（1，2），设PQ的斜率

14、为k，则过C的内公切线方程为y2k（x+1），即kxy+k+20，圆心B的直线的距离d1，平方得4k2+8k+41+k2，即3k2+8k+30，得k，即斜率的最大值为，最小值为，即的取值范围是，故选：B【点评】本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，利用两点斜率的几何意义，转化为求出两圆内公切线斜率问题是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度9（5分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，ACB90，BCCC11，P为BC1上的动点，则CP+PA1的最小值为（）ABC5D【分析】连A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A

15、1C的连线，由余弦定理即可求解【解答】解：连A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值BC1，A1C1，A1B，通过计算可得A1C1P90又BC1C45A1C1C135由余弦定理可求得A1C5故选：C【点评】本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，是中档题10（5分）已知函数f（x），则方程f（x+2）a（aR）的实数根个数不可能（）A5个B6个C7个D8个【分析】以f（x）1的特殊情形为突破口，解出x1或3或或4，将x+2是为整体，利用换元的思想方法进一步讨论【解答】解：如图所示：函数f（x），即f（x）因

16、为当f（x）1时，求得x4，或，或1，或3则当a1时，由方程f（x+2）a（aR），可得 x+24，或，或1，或3又因为 x+20，或x+24，所以，当x+24时，只有一个x2 与之对应，其它3种情况都有2个x值与之对应故此时，原方程f（x+2）a的实数根有7个根当1a2时，yf（x）与ya有4个交点，故原方程有8个根当a2时，yf（x）与ya有3个交点，故原方程有6个根综上：不可能有5个根，故选：A【点评】本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识，属于难题11（5分）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）AB（0，1）CD（1，0）【分析】由题意可得，再由对数式的运算性质变形，然后求解

17、对数不等式得答案【解答】解：由题意，解得：a1或a0；由得：0，令，则（1t）22（2+t）（t1）0，得t2+4t50，解得t5或t1，则5或1，则0或2即a0或0a1综上，实数a的取值范围为故选：A【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，训练了对数不等式的解法，属难题12（5分）数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC的顶点B（1，0），C（0，2），ABA

18、C，则ABC的欧拉线方程为（）A2x4y30B2x+4y+30C4x2y30D2x+4y30【分析】由于ABAC，可得：ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，求出线段BC的垂直平分线，即可得出ABC的欧拉线的方程【解答】解：由于ABAC，可得：ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，设线段BC垂直平分线的斜率为k，则kkBC1，k1，k，又BC中点坐标为（，1），ABC的欧拉线的方程为：y1，整理得：2x+4y30故选：D【点评】本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小

19、题5分，共20分13（5分）过ABC所在平面外一点，作PO，垂足为O，连接PA，PB，PC若PAPBPC，则点O是ABC的外心【分析】点P为ABC所在平面外一点，PO，垂足为O，若PAPBPC，可证得POAPOBPOC，从而证得OAOBOC，符合这一性质的点O是ABC外心【解答】证明：点P为ABC所在平面外一点，PO，垂足为O，若PAPBPC，故POA，POB，POC都是直角三角形PO是公共边，PAPBPCPOAPOBPOCOAOBOC故O是ABC外心故答案为：外【点评】本题考查三角形五心，求解本题的关键是能够根据题设条件得出PA，PB，PC在底面上的射影相等，以及熟练掌握三角形个心的定义，本

20、题是一个判断形题，是对基本概念的考查题14（5分）圆心为两直线x+y20和x+3y+100的交点，且与直线x+y40相切的圆的标准方程是（x4）2+（y+2）22【分析】直接联立方程组求两条直线交点的坐标，即为圆心坐标，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y40的距离，也就是所求圆的半径，然后直接写出圆的标准方程【解答】解：联立，解得，圆心坐标为：（4，2）圆与直线x+y40相切，圆心（4，2）到直线x+y40的距离为，圆的半径为圆的标准方程为（x4）2+（y+2）22，故答案为：（x4）2+（y+2）22【点评】本题考查了两条直线交点的求法，考查了直线和圆的位置关系，直线和圆相切，则圆心

21、到切线的距离等于圆的半径，此题是中档题15（5分）已知sin是方程5x27x60的根，是第三象限角，则tan2（）【分析】求解方程的根，再由角所在的象限确定角的正弦值，进而求出它的余弦值，利用诱导公式把所求的式子进行化简，把此角的正弦值和余弦值代入进行求解【解答】解：解得方程5x27x60的两根为x1，x22，由于是第三象限角，sin，则cos，tan2（）tan2tan2tan2故答案为：【点评】本题的考点是诱导公式和平方关系的应用，注意利用角所在的象限和诱导公式的口诀，正确确定三角函数值的符号，对于符号问题是易错的地方，需要认真和细心16（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上

22、画点或用小石子表示数，他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测b2020是数列an中的第5050项【分析】根据题意，分析数列an的通项公式，进而分析可得当n4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，29，30时，an可以被5整除，即数列an中每10项有4项能被5整除，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，由图可得：a11，a23，a36，依此类推：an，其中当n4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，29，30时，an可以被5整除，即数列an中每10项有4项能被5整除，又

23、20204505，b2020是数列an中第5050项；故答案为：5050【点评】本题考查归纳推理的应用，关键是分析数列的变化规律，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分17（10分）设直线l的方程为（a1）x+y+a+30，（aR）（1）若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的方程；（2）若直线l不经过第一象限，求实数a的取值范围【分析】（1）a1时，直接验证；当a1时，分别令x0，y0，解得与坐标轴的交点（0，a3），（，0）根据直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等即可得出（2）直线l的方程（a1）x+y+a+30化为y（a1）xa3由于直线l不经过第一象限，可得，解得即可【解

24、答】解：（1）a1时，直线化为y+40，不符合条件，应舍去；当a1时，分别令x0，y0，解得与坐标轴的交点（0，a3），（，0）直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等，|a3|，解得a3或a0，a2直线l的方程为：4x+y0，x+y+30或x+y+50（2）直线l的方程（a1）x+y+a+30化为y（a1）xa3直线l不经过第一象限，解得a1实数a的取值范围是a1【点评】本题考查了直线的截距式、直线的斜率与截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）在等差数列an中，a1018，前5项的和S515（1）求数列an的通项公式；  （2）求数列an的前n项和的最小值，并指出

25、何时取最小【分析】（1）由等差数列an中，a1018，前5项的和S515，由此能求出数列an的通项公式（2）由a19，d3，an3n12，知，由此能求出当n3或4时，前n项的和Sn取得最小值S3S418【解答】解：（1）等差数列an中，a1018，前5项的和S515，解得a19，d3，an3n12（2）a19，d3，an3n12，当n3或4时，前n项的和Sn取得最小值S3S418【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用19（12分）设向量（+2，2cos2），（m，+sincos），其中，m，为实数（1）若，求|的最小

26、值；（2）若2，求的取值范围【分析】（1）根据向量的模的定义和二次函数的性质即可求出，（2）根据2，结合三角函数的恒等变换，求出m的取值范围，再求的取值范围即可【解答】解：（1）当a时，（m，+），|2m2+（m2+m）+（m+）2+，|（2）2，向量（+2，2cos2），（m，+sincos），+22m，2cos2m+sin24m29m+4sin2+cos22sin（2+），22sin（2+）2，24m29m+42，解得m2而2，6，1【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，还考查了求函数的最值问题，是综合题20（12分）一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，

27、在其内部有一个高为xcm的内接圆柱（1）求圆锥的侧面积（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值【分析】（1）求出母线长，然后求解侧面积；（2）设圆柱的底面半径为r cm，求出r，得到圆柱的侧面积S2的表达式，然后求解最大值【解答】解：（1）圆锥的母线长为2（cm），圆锥的侧面积S1224（cm2）（6分）（2）画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知，r，圆柱的侧面积S22rx（x2+6x）（x3）29，当x3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6cm2（12分）【点评】本题考查圆柱的轴截面的面积的求法，考查轴截面面积的最大值的求法，解题时要注意空间

28、思维能力的合理运用21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BCBC1，ABBC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点（1）求证：EF面BCC1B1； （2）求证：BE面AB1C1；（3）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG平面ABB1A1，证明你的结论【分析】（1）由题意可得：EFA1A，所以可得EFB1B，再根据线面平行的判定定理可得线面平行（2）根据题意可得：BC平面ABC1，进而得到BEBC，即得到BEB1C1，因为ABBC1，E为AC1的中点，所以BEAC1，由线面垂直的判定定理可得线面垂直（3）取BC1中点为G，连接GE、GF，由题意可得：GEAB，所以

29、EG平面A1B1BA同理可证：EF平面A1B1BA再根据面面平行的判定定理可得面面平行【解答】证明：（1）因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，所以EFA1A因为B1BA1A，所以EFB1B又因为EF平面BCC1B1，B1BBCC1B1，所以EF面BCC1B1（2）因为BCBC1，ABBC，ABC1BB，所以BC平面ABC1因为BE平面ABC1，所以BEBC又因为BCB1C1，所以BEB1C1因为ABBC1，E为AC1的中点，所以BEAC1因为AC1B1C1C1，所以BE面AB1C1（3）取BC1中点为G，连接GE、GF，又因为E为AC1的中点，所以GEAB因为EG平面A1B1BA，AB

30、平面A1B1BA，所以EG平面A1B1BA同理可证：EF平面A1B1BA又因为EFEGE，所以平面EFG平面ABB1A1所以在线段BC1上是存在一点G，使平面EFG平面ABB1A1【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握有关线线、线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理22（12分）对函数（x），定义fk（x）（xmk）+nk（其中x（mk，m+mk，kZ，m0，n0，且m、n为常数）为（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3（1）当（x）2x时求f0（x）和fk（x）的解析式；求证：（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线；（2）若（x）x2，则是否存在正整数k，使得不

31、等式fk（x）（13k）x+4k2+3k1有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用题目中给出的阶梯函数的定义解决该类问题关键要理解阶梯函数的定义以及一些字母和符号的含义为求解函数解析式做准备，证明共线只需说明各点连线的斜率相等；（2）掌握探究性问题的解决方法，要假设存在正整数，寻找相应的关系式进行求解或说明【解答】解：（1）f0（x）（x）2x，x（0，2；fk（x）（x2k）+3k2 x2k+3k，x（2k，2k+2，kZfk（x）2 x2k+3k，x（2k，2k+2，kZ是增函数，（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为Pk（2k+2，4+3k），第k+1阶阶梯函数图象

32、的最高点为Pk+1（2k+4，7+3k），所以过Pk、Pk+1这两点的直线的斜率为k同理可得过Pk+1、Pk+2这两点的直线的斜率也为所以，（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线（2）若（x）x2，则fk（x）（x2k）2+3k，fk（x）（13k）x+4k2+3k1（x2k）2+3k（13k）x+4k2+3k1，整理得出x2（k+1）x+10当k1时，x22x+10无解，当k2时，x2（k+1）x+10，得出又根据x（2k，2k+2，kZ又根据，无公共部分，即不存在正整数k满足题意【点评】本题考查新定义型问题的解决方法，属于创新题型关键要理解阶梯函数的定义，然后写出该函数的解析式，利用单调性写出该函数的最值掌握探究性问题的研究方法，先假设存在，再寻找字母满足的关系式，进行求解和判断