6.1.2在平面上画立体图形（第2课时）直观图与中心投影、平行投影 学案（含答案）

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1、第2课时直观图与中心投影、平行投影学习目标 1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图2用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图3了解中心投影和平行投影知识链接1一般地，在一个几何体的三视图中，左视图与正视图高一样；俯视图与正视图长一样；左视图与俯视图宽一样2梯形的面积S(ab)h(其中a，b为两底长，h为高)预习导引1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们分别画成对应的x轴与y轴，其交点为O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在

2、直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半2立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面xOy垂直的轴Oz，且平行于Oz的线段长度保持原长度不变，其他同平面图形的画法3投影(1)投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫作投影其中，我们把光线叫作投影线，把留下物体影子的屏幕叫作投影面(2)投影的分类中心投影：光由一点向外散射形成的投影平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影当投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.题型一画水平

3、放置的平面图形的直观图例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45.(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD.(3)连结BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图规律方法1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行2在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成跟

4、踪演练1用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图解(1)如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴(2)画对应的x轴、y轴，使xOy45.在x轴上截取OBOCOBOC2 cm，在y轴上取OAOA，连结AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示题型二由直观图还原平面图形例2如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()A.a2 B2a2 Ca2 D2a2答案B解析由直观图还原出原图，如图，所以Sa2a2a2.规律方法由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行x轴的线段长度不变，平行y

5、轴线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x，y轴平行的顶点可通过作x轴、y轴的平行线变换确定其在xOy中的位置跟踪演练2一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OABC的面积为，则原梯形的面积为()A2 B.C2 D4答案D解析如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，原梯形的高OC是直观图中OC长度的2倍，OC的长度是直观图中梯形的高的倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形OABC面积的2倍，梯形OABC的面积为，所以原梯形的面积是4.题型三空间几何体的直观图例3如图所示，由下列几何体的三视图画出

6、直观图解(1)画轴画x轴、y轴和z轴，使xOy45(或135)，xOz90，如图所示(2)画底面以O为中心，在xOy平面内画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱过点A，B，C，D，E分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE都等于正视图的高(4)成图，顺次连结A，B，C，D，E，A，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图所示规律方法1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可2直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”跟踪演练3画出底面是正方形，侧棱均相等的四

7、棱锥的直观图解画法：(1)画轴画Ox轴、Oy轴、Oz轴，xOy45(或135)，xOz90，如图(1)(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高(4)成图：顺次连结PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图(2)题型四中心投影与平行投影例4下列说法中：平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；两条相交直线的平行投影是两条相交直线其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析由平行投影和中心投影的定义可知

8、正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，不正确规律方法判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断跟踪演练4下列命题中，正确的是()A矩形的平行投影一定是矩形B梯形的平行投影一定是梯形C两条相交直线的投影可能平行D如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点答案D解析平行投影因投影线的方向变化

9、而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A，B不正确两条相交直线的投影不可能平行，即C错两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确故选D.课堂达标1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交的仍相交 B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行 D原来共点的仍共点答案B解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直2关于用斜二测画法得到的直观图，下列说法正确的是()A等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B正方形的直观图为平行四边形C梯形的直观图可能不是梯形D正三角形的直观图一定为等腰三角形答案B3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()

10、A平行四边形 B梯形C菱形 D矩形答案D解析因为DAB45，由斜二测画法规则知DAB90，又因四边形ABCD为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形4一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是_线段；直线；圆；梯形；长方体答案解析线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点5.如图所示的直观图AOB，其平面图形的面积为_答案6解析由直观图可知其对应的平面图形AOB中，AOB90，OB3，OA4，SAOBOAOB6.课堂小结1斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形2在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小3理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处另应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况