6.1.3面积和体积公式（第1课时）棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 学案（含答案）

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1、61.3面积和体积公式第1课时棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学习目标 1理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义2.了解球、圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算公式 知识链接1棱柱的侧面形状是平行四边形；棱锥的侧面是三角形；棱台的侧面形状是梯形2圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆3三角形的面积Sah(其中a为底，h为高)，圆的面积Sr2(其中r为半径)；扇形的面积公式Slr(l为扇形的弧长，r为扇形的半径)预习导引柱体、锥体、台体、球的表面积几何体表面积公式圆柱S2r(rl)(其中r为底面半径，l为母线长)圆锥Sr(rl)(其中r为底面半径，l为母线长)圆台S(r2r2rlrl)(其中r，r分别为

2、上、下底面半径，l为母线长)球S4R2(其中R为球的半径)题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积例1已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30.求它的侧面积和表面积解如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE.OE2，OPE30，PE4.S正四棱锥侧ch(44)432，S表面积423248，即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.规律方法1.要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量2空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成跟踪演

3、练1若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，求其表面积解由正视图知三棱柱的高h1，底面三角形边长为2，故S侧3216，S底2222，S表S侧S底62.几何体的表面积为62.题型二空间几何体的表面积例2如图所示，已知直角梯形ABCD中，BCAD，ABC90，AB5 cm，BC16 cm，AD4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积解以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC13(cm)该几何体的表面积为(416)1342162532(cm2)规律方法1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面

4、中的相关量是求解旋转体表面积的关键2棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解跟踪演练2在题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积解以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16412(cm)，圆柱的母线长为AD4 cm，故该几何体的表面积为：25452513130(cm2)题型三球的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心

5、，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图，2r2a，r2a，所以S24r2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.综上可得S1S2S3123.规律方法1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解2球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体、长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解跟踪演练3

6、已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_答案解析如图，设球O的半径为R，则由AHHB12得HA2RR，OH.截面面积为(HM)2，HM1.在RtHMO中，OM2OH2HM2，R2R2HM2R21，R2，S球4R24.课堂达标1已知两个球的半径之比为12，则这两个球的表面积之比为()A12 B14 C16 D18答案B解析半径比为12，且S4R2，表面积比为半径比的平方，故选B.2底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是()A2 B4 C6 D8答案D解析由已知得底面边长为1，侧棱长为2.S侧1

7、248.3已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A. B1 C. D.答案D解析根据正方体的俯视图及左视图特征想象出其正视图后求面积由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，左视图是一个面积为的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为，宽为1的矩形，其面积为.4一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A12 cm2 B18 cm2 C24 cm2 D36 cm2答案C解析由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r3，母线l5，S表rlr224(cm2)故选C.5圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于()A72 B42 C67 D72答案C解析S圆台表S圆台侧S上底S下底(34)6324267.课堂小结1如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的表面积S表2(abbcac)；如果正方体的棱长为a，那么它的表面积为S表6a2.2求棱锥的表面积，可以先求侧面积，再求底面积，求侧面积，要清楚各侧面三角形的形状，并找出求其面积的条件求底面积，要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件3求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间关系的桥梁.