第7章解析几何初步章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习课网络构建核心归纳1点的坐标(1)两点间距离公式：两点P1(x1，y1)，Q(x2，y2)间的距离|PQ|.(2)定比分点坐标公式：分两点A(x1，y1)，B(x2，y2)所构成的有向线段为定比的分点的坐标为(，)(3)三角形重心坐标公式：以(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为顶点的三角形的重心坐标为(，)(4)三角形面积的公式：以向量(x1，y1)，(x2，y2)为两边的三角形的面积S|x1y2x2y1|.2直线与方程(1)直线法向量的应用直线垂直于向量(A，B)(法向量)直线方程AxByC0(C待定)两条直线平行或重合它们的法向量平行两条直线相交它们的法向量不平行两直线

2、垂直它们的法向量垂直(内积为0)(2)直线方程的几种形式名称方程常数的几何意义适用条件点斜式yy0k(xx0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式ykxbk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)0(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点任何情况截距式1a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式AxByC0，(A，B不同时为0)A，B，C为系数任何情况特殊直线xa(y轴：x0)垂直于x轴且过点(a，0)斜率不存在yb(x轴：y0)垂直于y轴且过点(0，b)斜率k0(

3、3)斜率公式和点到直线的距离公式k(x1x2)d3圆与方程(1)标准方程：以(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程：(xa)2(yb)2r2(2)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)其中圆心坐标(，)，r(3)直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系决定：相离dr；相交dRr；外切dRr；相交Rrd0；内含dRr；同心d0.4空间两点间的距离空间两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)间的距离：|PQ|.要点一直线的方程(1)求直线方程的主要方法是待定系数法要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备

4、时要另行讨论条件不满足的情况(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单例1过点P(1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，显然斜率不为0，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2.令y0，分别得x1，x.由题意1，即k1.则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20，综上可知，所求的直线方程为x1，x0，或xy10，xy20.跟踪演练1将直线的方程x2y60：(1)化成斜

5、截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距；(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距解(1)将原方程移项得2yx6，两边同除以2，得斜截式yx3，因此它的斜率k，在y轴上的截距为3.(2)将原方程移项得x2y6，两边同除以6，得截距式1.由方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为6，3.要点二直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况例2已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a，

6、b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10，即a2ab0.又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，1a，即b.故l1和l2的方程可分别表示为l1(a1)xy0，l2：(a1)xy0.原点到l1与l2的距离相等，4，解得a2或a.因此或跟踪演练2已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1，l2重合解(1)由已知13m(

7、m2)，即m22m30，解得m1且m3.故当m1且m3时，l1与l2相交(2)当1(m2)m30，即m时，l1l2.(3)当13m(m2)且12m6(m2)或(m2m36)，即m1时，l1l2.(4)当13m(m2)且12m6(m2)，即m3时，l1与l2重合要点三直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程2解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题例3如图所

8、示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标解(1)由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d1.由点到直线的距离公式得d，从而k(24k7)0.即k0或k，所以直线l

9、的方程为y0或7x24y280.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为ybk(xa)，k0，则直线l2的方程为yb(xa)因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即，整理得|13kakb|5k4abk|，从而13kakb5k4abk或13kakb5k4abk，即(ab2)kba3或(ab8)kab5.因为k的取值范围有无穷多个，所以或解得或这样点P只可能是点P1或点P2.经检验点P1和P2满足题目条件跟踪演练3已知直线l过点P(1，1)并与直线l1：xy30和

10、l2：2xy60分别交于点A，B，若线段AB被点P平分，求：(1)直线l的方程；(2)以原点O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程解(1)依题意可设A(m，n)，B(2m，2n)，则即解得A(1，2)又l过点P(1，1)，易得直线AB的方程为x2y30，即直线l的方程为x2y30.(2)设圆的半径长为r，则r2d2，其中d为弦心距，d，可得r25，故所求圆的方程为x2y25.要点四与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，

11、直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围例4已知圆C：(x2)2y21，P(x，y)为圆C上任一点(1)求的最大值与最小值；(2)求x2y的最大值与最小值解(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率令k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率对上式整理得kxyk20，1，k.故的最大值是，最小值是.(2)令ux2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得当直线与圆相切时，有1，解得u2，故x2y的最大值是2，最小值是2.跟踪演练4当曲线y1与直线yk(x2)4有两个相异交点

12、时，实数k的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析曲线y1是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线yk(x2)4是过定点(2，4)的直线设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为yk0(x2)4，圆心(0，1)到直线PC的距离等于半径2，即2，k0.直线PA的斜率为k1.所以，实数k的范围是1，点A在圆外若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以1，解得k.所以切线方程为y3(x4)即15x8y360.若切线斜率不存在，因为圆心C(3，1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4，综上，所求切线方程为15x8y360或x4.课堂小结1在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解2关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解3涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况