第6章立体几何初步章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习课网络构建核心归纳一、空间几何体的结构特征1棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的这三种几何体都是多面体2圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面3由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体二、空间几何体的画法1斜二测画法主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：(1)画轴；(2)画

2、平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x、y、z轴的线段；(3)截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半2三视图画法它包括正视图、左视图、俯视图三种画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线，可见线用细实线画出三、几何体的表面积和体积的有关计算1几何体的侧面积和表面积是两个不同的概念，表面积不仅仅包括侧面积，还包括底面面积2多面体的展开图是由多个平面图形组成的，计算其表面积需分别计算各个面的面积，之后相加即可对于圆柱(侧面展开图是矩形)、圆锥(侧面展开图是扇形)、圆台(侧面展开图是扇环)，要分别弄清展开图中各数据与原几何体

3、相应量之间的关系球的表面不能展开为平面图形，其表面积公式为S4R2.3柱体的体积公式为VSh(S为底面面积，h为高)，锥体的体积公式为VSh(S为底面面积，h为高)，球的体积公式为VR3SR(其中S为球的表面积，R为球的半径)四、线线关系空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面三种两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况1证明线线平行的方法线线平行的定义；公理3：平行于同一条直线的两条直线互相平行；线面平行的性质定理：a，a，bab；线面垂直的性质定理：a，bab；面面平行的性质定理：，a，bab.2证明线线垂直的方法线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通

4、过平移把异面直线转化为相交直线；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.五、线面关系直线与平面之间的位置关系有线在面内、相交、平行三种1证明直线与平面平行的方法线面平行的定义；判定定理：a，b，aba；平面与平面平行的性质：，aa.2证明直线与平面垂直的方法线面垂直的定义；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性质定理：，aa；面面垂直的性质定理：，l，a，ala.六、面面关系两个平面之间的位置关系有平行、相交两种1证明平面平行的方法面面平行的定义；面面平行的判定定理：a，b，a，b，abA；线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行，即a，a；公理3的推广

5、：平行于同一平面的两个平面平行，即，.2证明面面垂直的方法面面垂直的判定定理：a，a.七、在处理有关体积问题时应注意的几个问题(1)等体积变换法：当所给三棱锥的体积套用公式时某一量(面积或高)不易求出时，利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，可以转换为底面面积和高都易求的方式计算体积(2)在解决锥体与台体的体积比问题时，注意应用以下性质：对应线段的立方之比(3)割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法，割补法是割法与补法的总称补法是把不熟悉的(或复杂的)几何体延伸或补加成熟悉的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形，如长方体、正方体等割法是

6、把复杂的几何体切割成简单的几何体或体积易求的几何体割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面(4)补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法由台体的定义知，在某种情况下，我们可以将台体补全成锥体来研究其体积八、证明空间线面平行或垂直需注意的三点(1)由已知想性质，由求证想判定(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论九、“升降维”思想用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想

7、方法的不断转化运用的过程要点一三视图与直观图三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化例1将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为()答案B解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线跟踪演练1若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案B解析所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的左视图不符合，只有B选

8、项符合要点二几何体的表面积与体积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用割补法、构造法是常用的技巧例2如图所示，已知三棱柱ABCABC，侧面BBCC的面积是S，点A到侧面BBCC的距离是a，求三棱柱ABCABC的体积解连结AB，AC，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥设所求体积为V，显然三棱锥AABC的体积是V.而四棱锥ABCCB的体积为Sa，故有V

9、SaV，即VSa.跟踪演练2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88C1616 D816答案A解析将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V422224168.要点三空间中的平行关系在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决

10、定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律如下图所示是平行关系相互转化的示意图例3如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由解当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图连结AC和BD交于点O，连结FO，那么PFPB.四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点OFPD.又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD.又MA綊PB，PF綊MA.四边形AFPM是平行四边形AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD.AF平面PMD.又AFOFF，A

11、F平面AFC，OF平面AFC.平面AFC平面PMD.跟踪演练3如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)连结OG并延长交AC于点M，连结QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点又Q为PA中点，得QMPC，又O为AB中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC

12、，所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.要点四空间中的垂直关系空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法：线线垂直的定义；线面垂直的性质(若a，b，则ab)；线面垂直的性质(若a，b，则ab)(2)判定线面垂直的方法：线面垂直定义(一般不易验证任意性)；线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)；平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)；面面垂直的性质(，l，a，ala)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(l，l)(3)面面垂直的判定方法：面面垂直的判定定理(a，a)例4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，

13、CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1

14、)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.跟踪演练4如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.求证：(1)EN平面PDC；(2)BC平面PEB；(3)平面PBC平面ADMN.证明(1)ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC.又平面ADMN平面PBCMN，AD平面ADMN，ADMN.又ADBC，MNBC.又N为PB的中点，M为PC的中点，MNBC.E为AD的中点，DEADBCMN，DE綊

15、MN，四边形DENM为平行四边形，ENDM.又EN平面PDC，DM平面PDC，EN平面PDC.(2)四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，E为AD中点，BEAD.又PEAD，PEBEE，AD平面PEB.ADBC，BC平面PEB.(3)由(2)知ADPB.又PAAB，且N为PB的中点，ANPB.ADANA，PB平面ADMN.又PB平面PBC，平面PBC平面ADMN.课堂小结1研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决2转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为