9.2 等差数列(二)学案(含答案)
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1、9.2等差数列(二)学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题知识链接在等差数列an中,若已知首项a1和公差d的值,由通项公式ana1(n1)d可求出任意一项的值,如果已知am和公差d的值,有没有一个公式也能求任意一项的值?由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质?预习导引1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d,当d0时,an是关于n的常数函数;当d0时,an是关于n一次的函数;点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点2等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广:在等差数列an中,已知a1,
2、d, am, an(mn),则d从而有anam(nm)d.(2)项的运算性质:在等差数列an中,若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq.3等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.(2)若an、bn分别是公差为d,d的等差数列,则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数,kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p,q为常数)(3)an的公差为d,则d0an为递增数列;d0,d1,故所求的四
3、个数为2,0,2,4.方法二若设这四个数为a,ad,a2d,a3d(公差为d),依题意,2a3d2,且a(a3d)8,把a1d代入a(a3d)8,得8,即1d28,化简得d24,所以d2或2.又四个数成递增等差数列,所以d0,所以d2,故所求的四个数为2,0,2,4.题型三由递推关系式构造等差数列求通项例3已知数列an满足a1,且当n1,nN*时,有,设bn,nN*.(1)求证:数列bn为等差数列;(2)试问a1a2是否是数列an中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由(1)证明当n1,nN*时,224bnbn14,且b15.bn是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知bnb
4、1(n1)d54(n1)4n1.an,nN*.a1,a2,a1a2.令an,得n11.即a1a2a11,a1a2是数列an中的项,是第11项规律方法已知数列的递推公式求数列的通项时,要对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项,需掌握常见的几种变形形式,考查学生推理能力与分析问题的能力跟踪演练3在数列an中,a12,an1an2n1.(1)求证:数列an2n为等差数列;(2)设数列bn满足bn2log2(an1n),求bn的通项公式(1)证明(an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关),故数列an2n为等差数列,且公差d1.(2)解由(1)可知,an2n(a12)(n1)dn1,
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