8.3 解三角形的应用举例（二）学案（含答案）

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1、8.3解三角形的应用举例(二)学习目标1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神.知识链接“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘.预习导引1.仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图.2.高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问

2、题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.题型一测量底部不能到达的建筑物的高度例1如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.解在ABC中，BCA90，ABC90，BAC，CAD.根据正弦定理得，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin.即山的高度为.规律方法利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.跟踪演

3、练1某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65，则山的高度为_m(精确到1m.1.4142，sin350.5736).答案811解析过点D作DEAC交BC于E，因为DAC20，所以ADE160，于是ADB36016065135.又BAD352015，所以ABD30.在ABD中，由正弦定理，AB1000(m).在RtABC中，BCABsin35811(m).例2如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD

4、平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1) (m).即山的高度为800(1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.跟踪演练2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，BCD，BDC，CBD180()，即.BCs.在RtABC中，由于ABC90

5、，tan，ABBCtans.题型二测量地面上两个不能到达点之间的距离例3如下图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离.解在BCD中，CBD1803010545，由正弦定理得，则BC(km).在ACD中，CAD180606060，ACD为正三角形.ACCDkm.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos452，ABkm.所以河对岸A，B两点间距离为km.规律方法测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达

6、的两点距离测量问题，运用正弦定理解决.跟踪演练3如图所示，隔河可以看见目标A，B，但不能到达，在岸边选择相距km的C，D两点，并测得DCB45，BDC75，ADC30，ACD120(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离.解在BCD中，因为DCB45，BDC75，所以CBD60.又CD，由正弦定理得BD.在ACD中，同理可求得AD3.在ABD中，AB.即A、B之间的距离为km.课堂达标1.如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A.a，c， B.b，c， C.c，a， D.b，答案D解析由、可求出，由、b，可利用正弦定理求出BC.故选D.2.甲、乙两人

7、在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50，乙观测的仰角为40，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A.d1d2 B.d120m D.d2tan40可知d1d2.3.甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_.答案20mm解析甲楼的高为20tan602020m；乙楼的高为2020tan302020m.4.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105，则A、B两点的距离为_m.答案50解由题意知ABC30，由正

8、弦定理，AB50(m).课堂小结1.只运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.无论测量“底部不能到达的建筑物的高度”，还是测量“两个不可到达点间的距离”都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离.2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.