9.3 等比数列（二）学案（含答案）

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1、9.3等比数列(二)学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法知识链接在等差数列an中，通项公式可推广为aman(mn)d，并且若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，特别地，若mn2p，则anam2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？预习导引1等比数列的第二通项公式等比数列的通项公式为：ana1qn1，推广形式为：anamqnm(n，mN*)2等比数列的性质(1)如果mnkl，则有amanakal，(2)如果mn2k时，amana.(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列(4)在等比数列

2、an中，每隔k项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列(5)如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|.(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.题型一等比数列性质的应用例1已知数列an为等比数列(1)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若前三项的和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项解(1)a2a42a3a5a4a636，a2a3a5a36，(a3a5)236，

3、又an0，a3a56.(2)设该等比数列的公比为q，首项为a1，a2a542，q1.由已知，得1q3(1q)(1qq2)由除以，得q(1q)，q.a196.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2a5a7a1q4a1q6aq10962()109.a5，a7的等比中项是3.规律方法在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果跟踪演练1在等比数列an中，a6a15a9a1230，则前20项的积等于_答案1510解析数列an成等比数列，a6a15a9a1215，a1a

4、2a3a4a20(a1a20)10(a6a15)101510.题型二灵活设项求解等比数列例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解方法一设四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二设四个数依次为a，a，aq(a0，q0)，由条件得解得或当a8，q2时，所求四个数为0,4,8,16；当a3，q时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,1

5、6或15,9,3,1.规律方法合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad.跟踪演练2三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则新的三个数成等差数列，求这三个数解设三个数依次为，a，aq，aaq512，a8.(aq2)2a，2q25q20，q2或q，这三个数为4,8,16或16,8,4.题型三等比数列的实际应用例3某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中

6、低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.解(1)设中低价房面积构成数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1250，d50，则Sn250n5025n2225n；令25n2225n4 750，即n29n1900，解得n19或n10，而n是正整数n10.故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积构成数列bn，由题意可知，bn是等比数列，其中b1400，q1.0

7、8，则bn400(1.08)n1，由题意可知an0.85bn，即250(n1)50400(1.08)n10.85满足上述不等式的最小正整数n6.故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.规律方法本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算不要在运算中出现问题跟踪演练3始于2007年初的美国金融危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元你能求出7

8、月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列an，记：a1147(7月份价格)，则8月份价格：a2a1(1x)147(1x)；9月份价格：a3a2(1x)147(1x)2.147(1x)297，解得x18.8%.an147(118.8%)n1，又a734，a80，且a1a1027，log3a2log3a9等于()A9 B6 C3 D2答案C解析因为a2a9a1a1027，log3a2log3a9log3273.3在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_答案8解析设这8个数

9、组成的等比数列为an，则a11，a82. 插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.4已知an2n3n，判断数列an是否是等比数列？解不是等比数列a121315，a2223213，a3233335，a1a3a，数列an不是等比数列课堂小结1判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(1)定义法；(2)等比中项法； (3)通项公式法2等比数列的单调性(1)当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时，等比数列an是递减数列(3)当q1时，等比数列an是常数列(4)当q0时，等比数列an是摆动数列3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要