第10章 不等式 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习课网络构建核心归纳1.不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质.2.一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当m0，则可得xn或xm；若(xm)(xn)0，则可得mx0(或0时，AxByC0表示直线AxByC0上方的区域；AxByC0表示直线AxByC0下方的区域.5.求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法.平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意

2、一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法.通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解.要点一“三个二次”之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：相应的二次函数图象及与x轴的交点，相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点).例1设不等式x22axa20的解集为M，如果M1,4，求实数a的取值范围.解M1,4有两种情况：其一是M，此时0，下面

3、分三种情况计算a的取值范围.设f(x)x22axa2，则有(2a)24(a2)4(a2a2)，(1)当0时，1a0时，a2.设方程f(x)0的两根x1，x2，且x1x2，那么Mx1，x2，M1,41x1x24即解得2a.综上所述，M1,4时，a的取值范围是.跟踪演练1若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m_.答案2解析因为ax26xa21要点二恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般把知道取值范围的变量看作主元.(2)分离参数法：若f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x

4、)max.(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.例2设不等式2x1p(x21)对满足|p|2的一切实数p的取值都成立，求x的取值范围.解令f(p)2x1p(x21)(1x2)p2x1，p2,2，可看成是一条线段，且使f(p)0对|p|2的一切实数恒成立.所以即所以x.跟踪演练2f(x)ax2ax1在R上满足f(x)0，则a的取值范围是_.答案(4,0解析(1)当a0时，f(x)0恒成立，故a0符合题意；(2)当a0时，由题意得：4a0，综上所述：40)，找出最优解即可.在线性约束条件下，求目标函数zaxbyc的最小值或最大值的求解步骤为：作出可行域；作出直线l

5、0：axby0；确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值.例3已知实数x，y满足求wx2y2的最大值和最小值.解画出不等式组表示的平面区域，如图所示的ABC包括边界及其内部.wx2y2(x0)2(y0)2表示的是可行域内的动点M(x，y)到原点O(0,0)的距离的平方，当点M在边AC上滑动，且OMAC时，w取得最小值，于是wmind22；当点M滑到与点B(2,3)重合时，w取得最大值，即wmax()213，故wmin，wmax13.跟踪演练3某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2

6、，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小？解设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x2y)个，绘画标牌(2xy)个，由题意可得所用原料的总面积为z3x2y，作出可行域如图.在一组平行直线3x2yz中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线.过直线2xy5和直线x2y4的交点A(2,1)，所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.要点四利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值，可以

7、考虑用函数的单调性求解.例4设f(x).(1)求f(x)在0，)上的最大值；(2)求f(x)在2，)上的最大值.解(1)当x0时，有x2，所以f(x)25.当且仅当x，即x1时等号成立，所以f(x)在0，)上的最大值是25.(2)函数yx在2，)上是增函数且恒为正，f(x)在2，)上是减函数，且f(2)20.所以f(x)在2，)上的最大值为20.跟踪演练4设x，y都是正数，且3，求2xy的最小值.解3，1.2xy(2xy)1(2xy).当且仅当，即y2x时，取“”.又3，x，y.2xy的最小值为.课堂小结1.不等式的应用非常广泛，它贯穿于高中数学的始终.在集合、函数、数列、解析几何及实际问题中多有不等式的应用.本章的重点是简单的线性规划问题，基本不等式求最值和一元二次不等式的解法.2.考查角度通常有如下几个方面：(1)对各类不等式解法的考查，其解题关键是对于生疏的、非规范化的题目转化为熟悉的、规范化的问题去求解；(2)对含参数的不等式的解法的考查，解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行求解.(3)与函数、三角函数、向量等知识相结合，以解题工具的面貌出现在解答题中，以求解参数的取值范围为主，并且将更加突出对不等式的灵活性、综合性及应用性的考查.