第9章 数列 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习课网络构建核心归纳1数列的概念及表示方法(1)定义：按某种规则依次排列的一列数(2)表示方法：列举法、列表法、图象法、通项公式法和递推公式法(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列2求数列的通项(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：an(2)当已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(3)当已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an，常利用恒

2、等式ana1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项(5)归纳、猜想、证明法3等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an1and(常数)an是等差数列；q(q为常数，q0)an是等比数列(2)中项公式法：2an1anan2an是等差数列；aanan2(an0)an是等比数列(3)通项公式法：ananb(a，b是常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列(4)前n项和公式法：Snan2bn(a，b为常数，nN*)an是等差数列；Snaqna(a，q为常数，且a0，q0，q1，nN*)an是等比数列4求数列的前n项和的基本方

3、法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式；(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导要点一方程思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式和前n项和公式共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量例1已知an是各项均

4、为正数的等比数列，且a2a12，a3a4a564.(1)求an的通项公式；(2)设bn2，求bn的前n项和Tn.解(1)设an的公比为q，由已知得a10，q2，a11.an2n1.(2)bn2a24n1n12Tnb1b2b3bn14424n11n12n2n(4n41n)2n1.跟踪演练1记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.解设数列的公差为d，依题设有即解得或因此Snn(3n1)或Sn2n(5n)要点二转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转

5、化为等差数列或等比数列，再采用公式求出例2已知数列an中，a15且an2an12n1 (n2且nN*)(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(3)求通项an.解(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)假设存在实数，使得数列为等差数列设bn，由bn为等差数列，则有2b2b1b3.2，.解得1.又当1时，由an2an12n1可得，bn1bn(an12an)1(2n11)11.综上可知，存在实数1，使得数列为首项是2、公差是1的等差数列(3)由(2)知，数列为首项是2，公差为1的等差数列2(n1)1n1，an(n

6、1)2n1.跟踪演练2设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)，Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，

7、故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列要点三函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题值得注意的是数列定义域是正整数集，这一特殊性对问题结果可能造成影响例3已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(nN*)，Snb1b2bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.a11，解得

8、(d0舍)，d2.an2n1(nN*)(2)bn，Snb1b2bn.假设存在整数t满足Sn总成立，又Sn1Sn0，数列Sn是单调递增的S1为Sn的最小值，故，即t9.又tZ，适合条件的t的最大值为8.跟踪演练3已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f，nN*，(1)求数列an的通项公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.解(1)an1fan，an是以为公差的等差数列又a11，ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)(2n23n)要点四数列的交汇问题数列是高

9、中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点例4已知单调递增的等比数列an满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，对任意正整数n，Sn(nm)an10恒成立，试求m的取值范围解(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420，解得或又an单调递增，an2n.(2)bn2nlog 2nn2n，Sn12222323n2n，2Sn12

10、2223324(n1)2nn2n1，得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.由Sn(nm)an10，得2n1n2n12n2n1m2n10对任意正整数n恒成立，m2n122n1，即m1，m1，即m的取值范围是(，1跟踪演练4已知点(1，)是函数f(x)ax(a0，且a1)的图象上一点，等比数列an的前n项和为f(n)c，数列bn(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1(n2)(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列前n项和为Tn，问Tn的最小正整数n是多少？解 (1)f(1)a，f(x)()x，a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c.又

11、数列an成等比数列，a1c，所以c1；又公比q，所以an()n12()n(nN*)SnSn1()()(n2)，又bn0，0，1；数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，1(n1)1n，Snn2.当n2，bnSnSn1n2(n1)22n1；b1c1适合bn，bn2n1(nN*)(2)Tn(1)()()()(1)；由Tn得n，所以满足Tn的最小正整数为112.课堂小结1等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题2数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和