习题课：数列求和 学案（含答案）

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1、习题课数列求和学习目标1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法预习导引1基本求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.2an与Sn的关系数列an的前n项和Sna1a2a3an，则an3拆项成差求和经常用到下列拆项公式：(1)；(2)；(3).题型一分组求和例1求和：Sn222.解当x1时，Sn222(x2x4x2n)2n2n2n；当x1时，Sn4n.综上知，Sn规律方法某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列

2、的和跟踪演练1求数列1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n项和Sn(其中a0)解当a1时，则ann，于是Sn123n.当a1时，an(1an)Snn(aa2an).Sn题型二错位相减法求和例2已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设an的公差为d，则由已知得即解得a13，d1.故an3(n1)(1)4n.(2)由(1)可得bnnqn1，于是Sn1q02q13q2(n1)qn2nqn1.若q1，将上式两边同乘以q，得：qSn1q12q23q3(n1)qn1nqn.将上面两式相减

3、得：(q1)Snnqn(1qq2qn1)nqn，于是Sn.若q1，则Sn123n.所以，Sn规律方法用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和跟踪演练2已知等比数列an中，a12，a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)记bnanlog2an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设数列an的公比为q，由题知：2(a32)a2a4，q32

4、q2q20，即(q2)(q21)0.q2，即an22n12n.(2)bn2nlog22nn2n，Sn12222323n2n.2Sn122223324(n1)2nn2n1.得Sn212223242nn2n12(n1)2n1.Sn2(n1)2n1.题型三裂项相消求和例3求和：，n2.解，原式.规律方法如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)的形式，常采用裂项相消法求和跟踪演练3求和：1.解an2，Sn2.题型四奇偶并项求和例4求和：Sn1357(1)n(2n1)解当n为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2(2n1)n.当n为偶数时，Sn(13)(57)(2n3

5、)(2n1)2n.Sn(1)nn (nN*)跟踪演练4已知数列1,4，7,10，(1)n(3n2)，求其前n项和Sn.解n为偶数时，令n2k (kN*)，SnS2k14710(1)n(3n2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；当n为奇数时，令n2k1 (kN*)SnS2k1S2ka2k13k(6k1).Sn课堂达标1数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1 B. C. D.答案B解析an，S51.2数列1，2，3，4，的前n项和为()A.(n2n2)B.n(n1)1C.(n2n2)D.n(n1)2答案A解析123(12n)(n2n)1(n2n2).3数列an的通项公式a

6、n，若前n项的和为10，则项数为()A11 B99 C120 D121答案C解析an，Sn110，n120.4若数列an的前n项和为Snan，则数列an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时，a1S1a1，解得a11.当n2时，anSnSn1(an)(an1)anan1，整理可得anan1，即2，故数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，故an(2)n1.课堂小结求数列前n项和，一般有下列几种方法：1错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和2分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列3裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和4奇偶并项：当数列通项中出现(1)n或(1)n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论5倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法