湘教版高中数学必修4模块检测试卷（含答案）

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1、模块检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.如果a0，那么，下列不等式中正确的是()A. B. C.a2|b|答案A解析如果a0，那么0，1时，不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，2 B.2，)C.3，) D.(，3答案D解析x1，x(x1)1213.a3.4.等差数列an满足aa2a4a79，则其前10项之和为()A.9B.15C.15D.15答案D解析aa2a4a7(a4a7)29，a4a73，a1a103，S1015.5.在ABC中，BC2，B，当ABC的面积等于时，sinC等于()A.B.C.D.答案B解析由三角形的

2、面积公式，得SABBCsin，易求得AB1，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos，得AC，再由三角形的面积公式，得SACBCsinC，即可得出sinC，选B.6.在ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，则ABC一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案A解析lgsinAlgcosBlgsinClg2，lglg2.sinA2cosBsinC，ABC180，sin(BC)2cosBsinC，sin(BC)0.BC，ABC为等腰三角形.7.关于x的不等式axb0的解集是(，1)，则关于x的不等式0的解为()A.(，1)(2，) B.(1,

3、2)C.(1,2) D.(，1)(2，)答案B解析由不等式axb0的解集是(，1)，知a0，得0，即0，所以1x2.8.对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值范围是()A.1x3B.x3C.1x2D.x2答案B解析设g(a)(x2)a(x24x4)，g(a)0恒成立x3.9.设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A.5B.3C.5或3D.5或3答案B解析当a5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分).由得交点A(3，2)，则目标函数zx5y过A点时取得最大值.zmax35(2)7，不满足题意，排除A，C选项.当a3时，作出不等式组表示

4、的可行域，如图(2)(阴影部分).由得交点B(1,2)，则目标函数zx3y过B点时取得最小值.zmin1327，满足题意.10.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为()A.2,8B.(2,8) C.(4,8) D.(1,7)答案A解析设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70xk%万元，其中x10010k.由题意，得70(10010k

5、)k%112，整理得k210k160，解得2k8.11.如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2a10)，剪去部分的面积为8，则的最大值为()A.1 B. C. D.2答案C解析由题意，2ab8，b.2a10，11，当且仅当a，即a6时，取得最大值.12.定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”，若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又bn，则()A. B. C. D.答案C解析由定义可知a1a2an5n2，a1a2anan15(n1)2，可求得an110n5，所以an10n5，则bn2n1.又，所以.二、填空题(本大题共

6、4小题，每小题5分，共20分)13.已知0x6，则(6x)x的最大值是_.答案9解析0x0.(6x)x29.当且仅当6xx，即x3时，取等号.14.观察下列等式：1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为122232(1)n1n2_.答案n(n1)解析分n为奇数、偶数两种情况.第n个等式为12223242(1)n1n2.当n为偶数时，分组求和：(1222)(3242)(n1)2n2(3711152n1).当n为奇数时，第n个等式n2.综上，第n个等式：122232(1)n1n2n(n1).15.如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线M

7、N共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30，且座位A，B的距离为10米，则旗杆的高度为_米.答案30解析由题，可知BAN105，BNA30，由正弦定理，得，解得AN20米，在RtAMN中，MN20sin6030米.故旗杆的高度为30米.16.已知x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值为_.答案18解析画出可行域，为目标函数的纵截距，作直线yx，平行移动得出z的最大值.可行域如图阴影部分所示，z3x4y，即yx.将直线yx向上平行移动，y轴上的纵截距越来越大，当经过点B时，z取得最大值，由方程组得B(2,3)，z的最大值为zmax324318.三、解

8、答题(本大题共6小题，共70分)17.（本小题满分10分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解(1)由acosCasinCbc0及正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.因为BAC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面积SbcsinA，故bc4.而a2b2c22bccosA，故b2c28.解得bc2.18.(本小题满分12分)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高.解(1)在A

9、BC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以0A.所以A.(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.19. (本小题满分12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元.则y50n9812n42n240n982(n10)2102.所以当

10、捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.(2)年平均利润为2(n20)2(220)12，当且仅当n，即n7时上式取等号.所以当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元.20. (本小题满分12分)已知函数f(x)x22x8，g(x)2x24x16.(1)求不等式g(x)2，均有f(x)(m2)xm15成立，求实数m的取值范围.解(1)g(x)2x24x160，(2x4)(x4)0，2x4，不等式g(x)0的解集为x|2x2时，f(x)(m2)xm15恒成立，x22x8(m2)xm15，即x24x7m(x1).对一切x2，均有不等式m成立.而(x1)2222(当x3时等号成立).实数m的取值范

11、围是(，2.21.(本小题满分12分)设an是等差数列，其前n项和为Sn(nN*)；bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(nN*).已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整数n的值.解(1)设等比数列bn的公比为q(q0).由b11，b3b22，可得q2q20.因为q0，可得q2，故bn2n1.所以，Tn2n1.设等差数列an的公差为d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16，从而a11，d1，故ann.所以，Sn.(2)由(1)，有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2

12、.由Sn(T1T2Tn)an4bn可得2n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4.所以，n的值为4.22. (本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn1(nN*)，等差数列bn中，bn0(nN*)，且b1b2b315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)a11，an12Sn1(nN*)，an2Sn11(nN*，n1)，an1an2(SnSn1)，即an1an2an，an13an(nN*，n1).而a22a113，a23a1.数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，an3n1(nN*).a11，a23，a39，在等差数列bn中，b1b2b315，b25.又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，设等差数列bn的公差为d，则有(a1b1)(a3b3)(a2b2)2.(15d)(95d)64，解得d10或d2，bn0(nN*)，舍去d10，取d2，b13，bn2n1(nN*).(2)由(1)知Tn3153732(2n1)3n2(2n1)3n1，3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，得2Tn312323223323n1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n.Tnn3n.