1.5 平面直角坐标系中的距离公式（第1课时）两点间的距离公式 学案（含答案）

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1、1.5平面直角坐标系中的距离公式第1课时两点间的距离公式学习目标1.掌握两点间距离公式，并能简单应用.2.初步体会用解析法研究几何问题.3.会解决简单的对称问题.知识点两点间的距离公式如图，在RtP1QP2中，|P1P2|2|P1Q|2|QP2|2，所以|P1P2|.即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|.1.点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为ab.()2.点P(x1，y1)关于点M(x0，y0)的对称点是P(2x0x1，2y0y1).()题型一两点间的距离问题例1如图，已知ABC的三顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，(1)判断ABC的形状；(

2、2)求ABC的面积.考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用解(1)方法一|AB|，|AC|，又|BC|，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形.方法二kAC，kAB，kACkAB1，ACAB.又|AC|，|AB|，|AC|AB|，ABC是等腰直角三角形.(2)SABC|AC|AB|()226，ABC的面积为26.反思感悟应用两点间的距离公式判断三角形的形状(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.(2)在分析三角形的形状时，先由两点间的距离公式求出三边长，然后再考察边是否相等或是否满足勾股定理.跟踪训练1已

3、知点A(1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值.考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用解设P(x,0)，|PA|，|PB|，|PA|PB|，得x1，P(1,0)，|PA|2.题型二对称问题命题角度1关于点对称问题例2(1)点A(2,3)关于Q(1,2)的对称点A的坐标为_.答案(0,1)解析设A的坐标为(x，y)，则1，2，x0，y1，A的坐标为(0,1).(2)求直线3xy40关于点(2，1)的对称直线l的方程.考点对称问题的求法题点直线关于点的对称问题解方法一设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则M点关于点(2，1)的对称点为M1(4x，2

4、y)，且M1在直线3xy40上，所以3(4x)(2y)40，即3xy100.所以所求直线l的方程为3xy100.方法二在直线3xy40上取两点A(0，4)，B(1，1)，则点A(0，4)关于点(2，1)的对称点为A1(4,2)，点B(1，1)关于点(2，1)的对称点为B1(3，1).可得直线A1B1的方程为3xy100，即所求直线l的方程为3xy100.反思感悟(1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则点P是线段AB的中点，并且(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来

5、，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；若l1l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点.跟踪训练2与直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是()A.3x2y20 B.2x3y70C.3x2y120 D.2x3y80考点对称问题的求法题点直线关于点的对称问题答案D解析由平面几何知识易知，所求直线与已知直线2x3y60平行，则可设所求直线方程为2x3yC0.在直线2x3y60上任取一点(3,0)，关于点(1，1)的对称点为(1，2)，则点(1，2)必在所求直线上，2(1)3(2)C0，C8.所求直线方程为2x3y80.

6、命题角度2关于轴对称问题例3点P(3,4)关于直线xy20的对称点Q的坐标是()A.(2,1) B.(2,5)C.(2，5) D.(4，3)考点对称问题的求法题点点关于直线对称答案B解析设对称点坐标为(a，b)，由题意，得解得即Q(2,5).反思感悟(1)点关于直线的对称问题求点P(x0，y0)关于直线AxByC0的对称点P(x，y)时，利用可以求P点的坐标.(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P

7、是线段AB的中点.跟踪训练3一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线的方程.考点对称问题的求法题点光路可逆问题解设原点关于直线l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在直线l上，得解得点A的坐标为(4,3).反射光线的反向延长线过点A(4,3)，又反射光线过点P(4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3.题型三运用坐标法解决平面几何问题例4在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2).证明以BC边所在直线为

8、x轴，以D为原点，建立直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(a,0).|AB|2(ab)2c2，|AC|2(ab)2c2，|AD|2b2c2，|DC|2a2，|AB|2|AC|22(a2b2c2)，|AD|2|DC|2a2b2c2，|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2).反思感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟踪训练4已知：等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：|AC|BD|.证明如图所示，建立直角坐

9、标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)，|AC|，|BD|.故|AC|BD|.1.已知点A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，则a的值为()A.1 B.5 C.1或5 D.1或5考点两点间的距离公式题点已知两点间的距离求参数的值答案C解析|AB|5，解得a1或a5.2.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A.2 B.4 C.5 D.考点两点间的距离公式题点求两点间的距离答案D解析由题意知，解得P(4,1)，则|OP|.3.已知坐标平面内三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则ABC的形状是(

10、)A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案C解析由两点间的距离公式，可得|AB|，|BC|CA|，且|BC|2|CA|2|AB|2，ABC为等腰三角形.4.点A在第四象限，点A到x轴的距离为3，到原点的距离为5，则点A的坐标为_.考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案(4，3)解析由题意得，A点的纵坐标为3，设A(x，3)，则5，x4.又点A在第四象限，x4，A(4，3).5.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为_.考点对称问题的求法题点点关于直线对称答案xy10解析线段PQ的垂直平分线就是直线l，则klkPQkl1，得kl1，PQ的中点坐标为(2,3)，在直线l上，直线l的方程为y3x2，即xy10.1.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.2.有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称：点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称：点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点为A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.