2.1 圆的标准方程 学案（含答案）

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1、2圆与圆的方程2.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.知识点一圆的标准方程1.圆的几何特征是圆上任一点到圆心的距离等于定长，这个定长称为半径.2.圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以坐标原点为圆心，r为半径的圆.知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r

2、2点M在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)224，得点P在圆外.(2)已知点M(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_.考点点和圆的位置关系题点已知点和圆的位置关系求参数的值或范围答案0,1)解析由题意知即解得0a4，即2a220，解得a1.题型三与圆有关的最值问题例3已知实数x，y满足方程(x2)2y23，求的最大值和最小值.考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题解原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.引申探究1.若本例条件不变，求yx的最大值和最小值.解

3、设yxb，即yxb.当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.2.若本例条件不变，求x2y2的最大值和最小值.解x2y2表示圆上的点到原点的距离的平方.由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.反思感悟(1)以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注意代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观.(2)几种常见代数式的几何意义x2y2：点(x，y)与原点的

4、距离的平方.(xa)2(yb)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方.表示点(x，y)与原点(0,0)所在直线的斜率.表示点(x，y)与点(a，b)所在直线的斜率.形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yx截距的最值问题.跟踪训练3已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0).(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值.考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题解(1)由已知，得C(3,0)，r2，所求方程为(x3)2y24.(2)圆心C到直线xy10的距离d2.点P到直线的最大距离为22，最

5、小距离为22.待定系数法与几何法求圆的标准方程典例求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的标准方程.考点圆的标准方程题点已知弦长求圆的标准方程解方法一(待定系数法)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.方法二(几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，3)，半径为r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.素养评析(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程.(3)像本例，理解运算对象，探究运算

6、思路，求得运算结果.充分体现数学运算的数学核心素养.1.若某圆的标准方程为(x1)2(y5)23，则此圆的圆心和半径长分别为()A.(1,5)， B.(1，5)，C.(1,5)，3 D.(1，5)，3考点圆的标准方程题点由圆的标准方程求圆心和半径答案B2.点P(1,3)与圆x2y224的位置关系是()A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.不确定考点圆的标准方程题点点和圆的位置关系答案B3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2(y2)21 B.x2(y2)21C.(x1)2(y3)21 D.x2(y3)21答案A解析方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则1，b2

7、，圆的标准方程是x2(y2)21.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2(y2)21.4.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的标准方程是_.考点圆的标准方程题点圆心在某直线上求圆的标准方程答案(x2)2y24解析设圆心为(a,0)(a0)，则|a|2，即a2，(x2)2y24.5.若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是_.考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题答案1解析x2y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可知，最小值为141.1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.