6.2 垂直关系的性质 学案（含答案）

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1、6.2垂直关系的性质学习目标1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.知识点一直线与平面垂直的性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号语言ab图形语言知识点二平面与平面垂直的性质文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言，l，a，ala图形语言1.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.()2.若平面平面，任取直线l，则必有l.()3.若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也

2、垂直于另一个平面.()4.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.()题型一线面垂直的性质及应用例1如图所示，在正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EFBD1.考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理BD1B1C，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面A

3、B1C，EFBD1.反思感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练1如图，l，PA，PB，垂足分别为A，B，a，aAB.求证：al.考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行证明PA，l，PAl.同理PBl.PAPBP，l平面PAB.又PA，a，PAa.aAB，PAABA，a平面PAB.al.题型二面面垂直的性

4、质及应用例2如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线线垂直证明如图，在平面PAB内，作ADPB于点D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，PA，AD平面PAB，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.反思感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面

5、垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点.求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线面垂直证明(1)四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，又G为AD的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面ABCD，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，由题意知P

6、AD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.平行和垂直关系的综合应用典例在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，DAB60，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论.(1)证明设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.因为PAD为等边三角形，所以PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，因为G为AD的中点，所以BGAD.又因为BGPGG，BG，PG平面PGB，所以AD平面PGB.因为PB平面PGB，所以

7、ADPB.(2)解当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.如图，设F为PC的中点，则在PBC中，EFPB，所以EF平面PGB，在菱形ABCD中，GBDE，所以DE平面PGB，而EFDEE，所以平面DEF平面PGB.由(1)得，PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD.素养评析以四棱锥为载体，通过对线线、线面、面面平行与垂直关系的论述，使学生掌握推理的基本形式和规则，发现表述论证过程，学会有逻辑地思考问题，提升逻辑推理的数学核心素养.1.给出下列说法：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；一条直线在平面内

8、，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直.其中正确说法的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D2.平面平面，直线a，则()A.a B.aC.a与相交 D.以上都有可能考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案D解析因为a平面，平面平面，所以直线a与垂直、相交、平行都有可能.3.已知直线l平面，直线m平面.有下面四个说法：lm；lm；lm；lm.其中正确的两个说法是()A. B. C. D.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案C解析l，m，lm，故正确；lm，l，m，又m，故正确.

9、4.如图，在三棱锥PABC中，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案解析侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，又AB平面ABC，PAAB，PB.5.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC底面ABCD，求证：平面SCD平面SBC.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明因为底面ABCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面SCD.又因为BC平面SBC，所以平面SCD平面SBC.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：