第一章 立体几何初步 章末复习课后作业（含答案）

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1、章末复习课基础过关1.设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：若ab，bc，则ac；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；若ab，bc，则ac.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析借助正方体中的线线关系易知错；由公理4知正确.答案B2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C.2 D.2解析由三视图知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体.VV三棱锥V圆柱211122.选A.答案A3.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为4 m2，互相平行的两个侧面的距离为2 m，则这个六棱柱的体积为()A.3 m3B.6 m3C.12 m3D.以上都不对

2、解析设底面边长为a，高为h，则a，又2h4，h，V66(m3)，故选B.答案B4.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是_.解析将其还原成正方体ABCDPQRS，连接SC，AS，则PBSC，ACS(或其补角)是PB与AC所成的角，ACS为正三角形，ACS60，PB与AC所成的角是60.答案605.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_.解析设正方体棱长为a，则6a218a23，a.外接球直径为2Ra3，R，VR3.答案6.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的

3、中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？解直线MN平面A1BC1.证明如下：M平面A1BC1，N平面A1BC1.MN平面A1BC1.如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1.NO1綊D1C1，MB綊D1C1，NO1綊MB，四边形NO1BM为平行四边形，MNBO1.又BO1平面A1BC1，MN平面A1BC1.7.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点.(1)求证：EF平面AA1B1B；(2)若AA13，AB2，求EF与平面ABC所成的角.(1)证明如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.因为E是A1C1的中点，所以DE綊B1C1.又因为BC綊B1

4、C1，BFBC，所以DE綊BF，所以四边形BDEF为平行四边形，所以BDEF.又因为BD平面AA1B1B，EF平面AA1B1B，所以EF平面AA1B1B.(2)解如图，取AC的中点H，连接HF，EH.因为EHAA1，AA1平面ABC，所以EH平面ABC.所以EFH就是EF与平面ABC所成的角.在RtEHF中，FH，EHAA13，tanEFH，所以EFH60.故EF与平面ABC所成的角为60.能力提升8.已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256解析SOAB是定值，且VOABCV

5、COAB，当OC平面OAB时，VCOAB最大，即VOABC最大.设球O的半径为R，则(VOABC)maxR2RR336，R6，球O的表面积S4R2462144.答案C9.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A. B.C. D.解析利用三棱锥的体积变换求解.由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍.在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，SABCAB2，高OD，VSABC2VOABC

6、2.答案A10.三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_.解析如图，设SABDS1，SPABS2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S22S1，h22h1，V1S1h1，V2S2h2，.答案11.如图所示，在矩形ABCD中，AB3，BCa，若PA平面ABCD，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是_.解析由题意知：PADE，又PEDE，PAPEP，DE平面PAE，AE平面PAE，DEAE.易证ABEECD.设BEx，则，即.x2ax90，E点有两个，即方程有两不同的实根，由0

7、，解得a6.答案(6，)12.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC5，BB1BC6，D，E分别是AA1和B1C的中点.(1)求证：DE平面ABC；(2)求三棱锥EBCD的体积.(1)证明如图，取BC中点G，连接AG，EG.因为E是B1C的中点，所以EGBB1，且EGBB1.由直棱柱知AA1綊BB1，而D是AA1的中点，所以EG綊AD，所以四边形EGAD是平行四边形.所以EDAG.又DE平面ABC，AG平面ABC，所以DE平面ABC.(2)解因为ADEG，所以AD平面BCE，所以VEBCDVDBECVABCEVEABC，由(1)知DE平面ABC.所以VEABCVDABCADBCAG36

8、412.创新突破13. 如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积.(1)证明PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB，PA平面ABC，又BD平面ABC，PABD.(2)证明ABBC，D是AC的中点，BDAC.由(1)知PA平面ABC，PA平面PAC，平面PAC平面ABC.平面PAC平面ABCAC，BD平面ABC，BDAC，BD平面PAC.BD平面BDE，平面BDE平面PAC，(3)解PA平面BDE，又平面BDE平面PACDE，PA平面PAC，PADE.由(1)知PA平面ABC，DE平面ABC.D是AC的中点，E为PC的中点，DEPA1.D是AC的中点，SBCDSABC221，VEBCDSBCDDE11.