2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题

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1、2019年中考数学真题分类训练专题二十：几何探究型问题1（2019重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EMAE，垂足为E，交CD于点M，AFBC，垂足为F，BHAE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP（1）若DP=2AP=4，CP，CD=5，求ACD的面积（2）若AE=BN，AN=CE，求证：ADCM+2CE解：（1）作CGAD于G，如图1所示：设PG=x，则DG=4-x，在RtPGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，在RtDGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，17-x2=9+8x-x2，解得：x=1，即PG=

2、1，GC=4，DP=2AP=4，AD=6，SACDADCG64=12（2）证明：连接NE，如图2所示：AHAE，AFBC，AEEM，AEB+NBF=AEB+EAF=AEB+MEC=90，NBF=EAF=MEC，在NBF和EAF中，NBFEAF，BF=AF，NF=EF，ABC=45，ENF=45，FC=AF=BF，ANE=BCD=135，AD=BC=2AF，在ANE和ECM中，ANEECM，CM=NE，又NFNEMC，AFMC+EC，ADMC+2EC2（2019广州）如图，等边ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），CDE关于DE的轴对称图形为FDE（1

3、）当点F在AC上时，求证：DFAB；（2）设ACD的面积为S1，ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时求AE的长解：（1）证明：ABC是等边三角形，A=B=C=60，由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，DFC=C=60，DFC=A，DFAB（2）存在，如图，过点D作DMAB交AB于点M，AB=BC=6，BD=4，CD=2DF=2，点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，当点F在DM上时，SABF最小，BD=4，DMAB，ABC=60，MD=2，SABF的最小值6（22）=66，S最大值23（66）=-3

4、6（3）如图，过点D作DGEF于点G，过点E作EHCD于点H，CDE关于DE的轴对称图形为FDE，DF=DC=2，EFD=C=60，GDEF，EFD=60，FG=1，DGFG，BD2=BG2+DG2，16=3+（BF+1）2，BF1，BG，EHBC，C=60，CH，EHHCEC，GBD=EBH，BGD=BHE=90，BGDBHE，EC1，AE=AC-EC=73（2019安徽）如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC，P为ABC内部一点，且APB=BPC=135（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12

5、=h2h3证明：（1）ACB=90，AB=BC，ABC=45=PBA+PBC，又APB=135，PAB+PBA=45，PBC=PAB，又APB=BPC=135，PABPBC（2）PABPBC，在RtABC中，AB=AC，PA=2PC（3）如图，过点P作PDBC，PEAC交BC、AC于点D，E，PF=h1，PD=h2，PE=h3，CPB+APB=135+135=270，APC=90，EAP+ACP=90，又ACB=ACP+PCD=90，EAP=PCD，RtAEPRtCDP，即，h3=2h2，PABPBC，即：h12=h2h34（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0）

6、，C（-3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交E于点D，连接OD（1）求证：直线OD是E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交E于点G，连接BG当tanACF时，求所有F点的坐标_（直接写出）；求的最大值解：（1）证明：如图1，连接DE，BC为圆的直径，BDC=90，BDA=90，OA=OB，OD=OB=OA，OBD=ODB，EB=ED，EBD=EDB，EBD+OBD=EDB+ODB，即EBO=EDO，CBx轴，EBO=90，EDO=90，点D在E上，直线OD为E的切线（2）如图2，当F位于AB上时，过F作F1NAC于N，F1NAC，ANF1=ABC=90，ANFABC

7、，AB=6，BC=8，AC10，即ABBCAC=6810=345，设AN=3k，则NF1=4k，AF1=5k，CN=CA-AN=10-3k，tanACF，解得：k，即F1（，0）如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2MCA于M，AMF2ABC，设AM=3k，则MF2=4k，AF2=5k，CM=CA+AM=10+3k，tanACF，解得：，AF2=5k=2，OF2=3+2=5，即F2（5，0），故答案为：F1（，0），F2（5，0）方法1：如图4，CB为直径，CGB=CBF=90，CBGCFB，BC2=CGCF，CF，CG2+BG2=BC2，BG2=BC2-CG2，令y=CG2（64-C

8、G2）=-CG4+64CG2=-（CG2-32）2-322=-（CG2-32）2+322，当CG2=32时，此时CG=4，方法2：设BCG=，则sin，cos，sincos，（sin-cos）20，即：sin2+cos22sincos，sin2+cos2=1，sincos，即，的最大值5（2019宁夏）如图，在ABC中，A=90，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQBC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x（1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）

9、当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值解：（1）MQBC，MQB=90，MQB=CAB，又QBM=ABC，QBMABC（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，MNBQ，BQ=MN，四边形BMNQ为平行四边形（3）A=90，AB=3，AC=4，BC5，QBMABC，即，解得，QMx，BMx，MNBC，即，解得，MN=5x，则四边形BMNQ的面积（5x+x）x（x）2，当x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为6（2019江西）在图1，2，3中，已知ABCD，ABC=120，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且EAG=120（1）如图1，当点E

10、与点B重合时，CEF=_；（2）如图2，连接AF填空：FAD_EAB（填“”“AB以点O为圆心，OB长为半径作O，O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，BPC=90，点P不能再矩形外，BPC的顶点P1或P2位置时，BPC的面积最大，作P1EBC，垂足为E，则OE=3，AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8（3）可以，如图所示，连接BD，A为BCDE的对称中心，BA=50，CBE=120，BD=100，BED=60，作BDE的外接圆O，则点E在优弧上，取的中点E，连接EB，ED，则EB=ED，且BED=60，BED为正三角形连接EO并延长，经过点A至C

11、，使EA=AC，连接BC，DC，EABD，四边形ED为菱形，且CBE=120，作EFBD，垂足为F，连接EO，则EFEO+OA-EO+OA=EA，SBDEBDEFBDEA=SEBD，S平行四边形BCDES平行四边形BCDE=2SEBD=1002sin60=5000（m2），所以符合要求的BCDE的最大面积为5000m29（2019天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，ABO=30矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2（）如图，求点E的坐标；（）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形CODE，点C，O，D，E的对应点分别为C，O，D，E

12、设OO=t，矩形CODE与ABO重叠部分的面积为S如图，当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时，CE，ED分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当S5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）解：（）点A（6，0），OA=6，OD=2，AD=OA-OD=6-2=4，四边形CODE是矩形，DEOC，AED=ABO=30，在RtAED中，AE=2AD=8，ED4，OD=2，点E的坐标为（2，4）（）由平移的性质得：OD=2，ED=4，ME=OO=t，DEOCOB，EFM=ABO=30，在RtMFE中，MF=2ME=2t，FEt，SMFEMEFEtt，S矩形CODE

13、=ODED=248，S=S矩形CODE-SMFE=8，St2+8，其中t的取值范围是：0t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是ABC的最长的中内弧，连接DE，A=90，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，BC4，DEBC4=2，弧2=（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t时，C（2，0），D（0，1），E（1，

14、1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m1，OA=OC，AOC=90，ACO=45，DEOC，AED=ACO=45，作EGAC交直线FP于G，FG=EF，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求，m，综上所述，m或m1如图4，设圆心P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM，P（t，），DEBC，ADE=AOB=90，AE，PD=PE，AED=PDE，AED+DAE=PDE+ADP=90，DAE=ADP，AP=PD=PEAE，由三角形中内弧定义知，PDPM，AE，AE3，即3，解得：t，t0，0t