2019年中考数学真题分类训练——专题十九:二次函数综合题
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1、2019年中考数学真题分类训练专题十九:二次函数综合题1(2019广东)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),点D为抛物线的顶点,点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,CAD绕点C顺时针旋转得到CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE(1)求点A、B、D的坐标;(2)求证:四边形BFCE是平行四边形;(3)如图2,过顶点D作DD1x轴于点D1,点P是抛物线上一动点,过点P作PMx轴,点M为垂足,使得PAM与DD1A相似(不含全等)求出一个满足以上条件的点P的横坐标;直接回答这样的点P共有几个?解:(1)令=0,解得x1=1,x2=7A(1,0),B(7,0)
2、由y=得,D(3,2);(2)DD1x轴于点D1,COF=DD1F=90,D1FD=CFO,DD1FCOF,D(3,2),D1D=2,OD=3,AC=CF,COAF,OF=OA=1,D1F=D1OOF=31=2,OC=,CA=CF=FA=2,ACF是等边三角形,AFC=ACF,CAD绕点C顺时针旋转得到CFE,ECF=AFC=60,ECBF,EC=DC=6,BF=6,EC=BF,四边形BFCE是平行四边形;(3)点P是抛物线上一动点,设P点(x,),当点P在B点的左侧时,PAM与DD1A相似,或,或,解得:x1=1(不合题意舍去),x2=11或x1=1(不合题意舍去)x2=;当点P在A点的右侧
3、时,PAM与DD1A相似,或,或,解得:x1=1(不合题意舍去),x2=3(不合题意舍去)或x1=1(不合题意舍去),x2=(不合题意舍去);当点P在AB之间时,PAM与DD1A相似,=或=,或,解得:x1=1(不合题意舍去),x2=3(不合题意舍去)或x1=1(不合题意舍去),x2=;综上所述,点P的横坐标为11或或;由得,这样的点P共有3个2(2019深圳)如图,抛物线经y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)点D、E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值(3)点P为抛物线上
4、一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分,求点P的坐标解:(1)OB=OC,点B(3,0),则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,故-3a=3,解得:a=-1,故抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3,对称轴为x=1(2)ACDE的周长=AC+DE+CD+AE,其中AC、DE=1是常数,故CD+AE最小时,周长最小,取点C关于函数对称点C(2,3),则CD=CD,取点A(-1,1),则AD=AE,故:CD+AE=AD+DC,则当A、D、C三点共线时,CD+AE=AD+DC最小,周长也最小,四边形ACDE的周长的最小值=A
5、C+DE+CD+AEAD+DCAC(3)如图,设直线CP交x轴于点E,直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分,又SPCBSPCAEB(yC-yP)AE(yC-yP)=BEAE,则BEAE=35或53,则AE或,即:点E的坐标为(,0)或(,0),将点E、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+3,解得:k=-6或-2,故直线CP的表达式为:y=-2x+3或y=-6x+3,联立并解得:x=4或8(不合题意值已舍去),故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45)3.(2019雅安) 已知二次函数y=ax2(a0)的图象过点(2,-1),点P(P与O不重合)是图象上的一点,直线l过点(0,1)且平
6、行于x轴。PMl于点M,点F(0,-1)(1)求二次函数的解析式;(2)求证:点P在线段MF的中垂线上;(3)设直线 PF交二次函数的图象于另一点Q,QNl于点N,线段MF的中垂线交l于点R,求的值; (4)试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系 解:(1)y=ax2(a0)的图象过点(2,-1),-1=a22,即a=,;(2)设的图象上的点P(x1,y1),则M(x1,1),即x12=-4y1,PM=1-y1,又PF=y1-1=PM,即PF=PM,点P在线段MF的中垂线上;(3)连接RF,R在线段MF的中垂线上,MR=FR,又PM=PF,PR=PR,PMRPFR,PFR=PMR=90,R
7、FPF,连接RQ,又在RtRFQ和RtRNQ中,Q 在的图象上,由(2)结论知QF=QN,RQ=RQ,RtRFQ RtRNQ,即RN=FR,即MR=FR=RN,;(4)在PQR中,由(3)知PR平分MRF,QR平分FRN,PRQ=(MRF+FRN)=90,点R在以线段PQ为直径的圆上4(2019南宁)如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上,抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时,那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线如图1,已知抛物线C1:y1=x2+x与C2:y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线,点A,B分别是抛物线C1,C2的顶点,抛物线C2经过点D(6,1)(1)直接写出A,B的坐
8、标和抛物线C2的解析式;(2)抛物线C2上是否存在点E,使得ABE是直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)如图2,点F(6,3)在抛物线C1上,点M,N分别是抛物线C1,C2上的动点,且点M,N的横坐标相同,记AFM面积为S1(当点M与点A,F重合时S1=0),ABN的面积为S2(当点N与点A,B重合时,S2=0),令S=S1+S2,观察图象,当y1y2时,写出x的取值范围,并求出在此范围内S的最大值解:(1)C1顶点在C2上,C2顶点也在C1上,由抛物线C1:y1=x2+x可得A(2,1),将A(2,1),D(6,1)代入y2=ax2+x+c得,解得 ,y2=
9、x2+x+2,B(2,3);(2)易得直线AB的解析式:y=x+1,若B为直角的顶点,BEAB,kBEkAB=1,kBE=1,则直线BE的解析式为y=x+5联立,解得或,此时E(6,1);若A为直角顶点,AEAB,kAEkAB=1,kAE=1,则直线AE的解析式为y=x3,联立,解得或,此时E(10,13);若E为直角顶点,设E(m,m2+m+2)由AEBE得kBEkAE=1,即,解得m=2或2(不符合题意均舍去),存在,E(6,1)或E(10,13);(3)y1y2,观察图形可得:x的取值范围为2x2,设M(t,t2+t),N(t,t2+t+2),且2t2,易求直线AF的解析式:y=x3,过
10、M作x轴的平行线MQ交AF于Q,由yQ=yM,得Q(t2t3,t2+t),S1=|QM|yFyA|=t2+4t+6,设AB交MN于点P,易知P坐标为(t,t+1),S2=|PN|xAxB|=2t2,S=S1+S2=4t+8,当t=2时,S的最大值为165(2019广州)已知抛物线G:y=mx2-2mx-3有最低点(1)求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值(用含m的式子表示);(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数
11、H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围解:(1)y=mx2-2mx-3=m(x-1)2-m-3,抛物线有最低点,二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3(2)抛物线G:y=m(x-1)2-m-3,平移后的抛物线G1:y=m(x-1-m)2-m-3,抛物线G1顶点坐标为(m+1,-m-3),x=m+1,y=-m-3,x+y=m+1-m-3=-2,即x+y=-2,变形得y=-x-2,m0,m=x-1,x-10,x1,y与x的函数关系式为y=-x-2(x1)(3)法一:如图,函数H:y=-x-2(x1)图象为射线,x=1时,y=-1-2=-3;x=2时,y=-2-2=-4,函数
12、H的图象恒过点B(2,-4),抛物线G:y=m(x-1)2-m-3,x=1时,y=-m-3;x=2时,y=m-m-3=-3,抛物线G恒过点A(2,-3),由图象可知,若抛物线与函数H的图象有交点P,则yByPyA,点P纵坐标的取值范围为-4yP1,且x=2时,方程为0=-1不成立,x2,即x2-2x=x(x-2)0,m0,x1,1-x0,x(x-2)0,x-20,x2,即1x2,yP=-x-2,-4yP-3,6(2019海南)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(5,0),B(4,3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD(1)求该抛物线的表达式;(2)点P为该抛物线上一动点(
13、与点B、C不重合),设点P的横坐标为t当点P在直线BC的下方运动时,求PBC的面积的最大值;该抛物线上是否存在点P,使得PBC=BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:,解得,故抛物线的表达式为:y=x2+6x+5(2)如图1,过点P作PEx轴于点E,交直线BC于点F.在抛物线y=x2+6x+5中,令y=0,则x2+6x+5=0,解得x=5,x=1,点C的坐标为(1,0).由点B(4,3)和C(1,0),可得直线BC的表达式为y=x+1.设点P的坐标为(t,t2+6t+5),由题知4t1,则点F(t,t+1),FP=(t+1)(t2
14、+6t+5)=t25t4,SPBC=SFPB+SFPC=FP3=.41,当t=时,PBC的面积的最大值为存在y=x2+6r+5=(x+3)24,抛物线的顶点D的坐标为(3,4).由点C(l,0)和D(3,4),可得直线CD的表达式为y=2x+2.分两种情况讨论:(i)当点P在直线BC上方时,有PBC=BCD,如图2.若PBC=BCD,则PBCD,设直线PB的表达式为y=2x+b.把B(4,3)代入y=2x+b,得b=5,直线PB的表达式为y=2x+5.由x2+6x+5=2x+5,解得x1=0,x2=4(舍去),点P的坐标为(0,5).(ii)当点P在直线BC下方时,有PBC=BCD,如图3.设
15、直线BP与CD交于点M,则MB=MC.过点B作BNx轴于点N,则点N(4,0),NB=NC=3,MN垂直平分线段BC.设直线MN与BC交于点G,则线段BC的中点G的坐标为,由点N(4,0)和G,得直线NG的表达式为y=x4.直线CD:y=2x+2与直线NG:y=x4交于点M,由2x+2=x4,解得x=2,点M的坐标为(2,2).由B(4,3)和M(2.2),得直线BM的表达式为y=由x2+6x+5=,解得x1=,x2=4(含去),点P的坐标为(,).综上所述,存在满足条件的点P的坐标为(0,5)和(,).7. (2019镇江)如图,二次函数图象的顶点为,对称轴是直线1,一次函数的图象与轴交于点
16、,且与直线关于的对称直线交于点(1)点的坐标是;(2)直线与直线交于点,是线段上一点(不与点、重合),点的纵坐标为过点作直线与线段、分别交于点、,使得与相似当时,求的长;若对于每一个确定的的值,有且只有一个与相似,请直接写出的取值范围解:(1)顶点为;故答案为;(2)对称轴,由已知可求,点关于对称点为,则关于对称的直线为,当时,当时,;当与不平行时,;综上所述,;当,时,有且只有一个与相似时,;故答案为;8(2019陕西)在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+(ca)x+c经过点A(3,0)和点B(0,6),L关于原点O对称的抛物线为L(1)求抛物线L的表达式;(2)点P在抛物线L上,
17、且位于第一象限,过点P作PDy轴,垂足为D若POD与AOB相似,求符合条件的点P的坐标解:(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得:,解得,L:y=x25x6(2)点A、B在L上的对应点分别为A(3,0)、B(0,6),设抛物线L的表达式y=x2+bx+6,将A(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=5,抛物线L的表达式为y=x25x+6,A(3,0),B(0,6),AO=3,OB=6,设:P(m,m25m+6)(m0),PDy轴,点D的坐标为(0,m25m+6),PD=m,OD=m25m+6,RtPOD与RtAOB相似.PDOBOA时,=,即m=2(m25m+6),解得:m=或4;当ODPA
18、OB时,同理可得:m=1或6;P1、P2、P3、P4均在第一象限,符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或(,)或(4,2)9. (2019常州)如图,二次函数yx2+bx+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上(1)b ;(2)若点P在第一象限,过点P作PHx轴,垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N是否存在这样的点P,使得PMMNNH?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQBD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且SPQB2SQRB,求点P的坐标解:(1)二次函数yx2
19、+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)1b+3解得:b2故答案为:2(2)存在满足条件呢的点P,使得PMMNNH二次函数解析式为yx2+2x+3当x0时y3,C(0,3)当y0时,x2+2x+30解得:x11,x23A(1,0),B(3,0)直线BC的解析式为yx+3点D为OC的中点,D(0,32)直线BD的解析式为y=-12x+32,设P(t,t2+2t+3)(0t3),则M(t,t+3),N(t,-12t+32),H(t,0)PMt2+2t+3(t+3)t2+3t,MNt+3(-12x+32)=-12t+32,NH=-12t+32MNNHPMMNt2+3t=-12t+32解得:t1=12
20、,t23(舍去)P(12,154)P的坐标为(12,154),使得PMMNNH(3)过点P作PFx轴于F,交直线BD于EOB3,OD=32,BOD90BD=OB2+OD2=352cosOBD=OBBD=3352=255PQBD于点Q,PFx轴于点FPQEBQRPFR90PRF+OBDPRF+EPQ90EPQOBD,即cosEPQcosOBD=255在RtPQE中,cosEPQ=PQPE=255PQ=255PE在RtPFR中,cosRPF=PFPR=255PR=PF255=52PFSPQB2SQRB,SPQB=12BQPQ,SQRB=12BQQRPQ2QR设直线BD与抛物线交于点G-12x+32
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- 2019 年中 数学 分类 训练 专题 十九 二次 函数 综合
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