2020北师大版高中数学必修二《第一章 立体几何初步》章末检测试卷（含答案）

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1、章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱 B.圆锥C.四面体 D.三棱柱答案A解析由空间几何体的三视图可知，圆柱的主视图不可能是三角形.2.如图，BCx轴，ACy轴，则下面直观图所表示的平面图形是()A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形 D.直角三角形考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案D解析因为BCx轴，ACy轴，所以直观图中BCx轴，ACy轴，所以三角形是直角三角形.故选D.3.已知直线l平面，直线m平面，下面四个结论：若l，则lm；若l，则lm；

2、若lm，则l；若lm，则l，其中正确的是()A. B.C. D.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案D解析由直线l平面，直线m平面知，在中，若l，则由线面垂直的性质得lm，故正确；在中，若l，则l与m平行或异面，故错误；在中，若lm，则l与不一定垂直，故错误；在中，若lm，则由线面平行的判定定理得l，故正确.故选D.4.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为()A.30 B.45C.60 D.75答案A解析设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，则由题意得rL2r2，L2r，圆锥的母线与轴所成的角为30.5.下列命题：在平面外的直线与平面不相交必平行；过

3、平面外一点只有一条直线和这个平面平行；如果一条直线与另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面平行；若直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行于该平面.其中正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案A解析正确，错误.6.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.异面 B.相交C.平行 D.异面或相交答案D解析如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面.7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个

4、推断：FG平面AA1D1D；EF平面BC1D1；FG平面BC1D1；平面EFG平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A. B. C. D.考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案A解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，FGBC1.BC1AD1，FGAD1，FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，FG平面AA1D1D，故正确；EFA1C1，A1C1与平面BC1D1相交，EF与平面BC1D1相交，故错误；FGBC1，FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，FG平面BC1D1，故正确；EF与平面BC1D1相交，平面EF

5、G与平面BC1D1相交，故错误.故选A.8.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.1考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案C解析由三视图知，半球的半径R，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，V1113，故选C.9.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A. B. C. D.答案A解析如图所示，设球的半径为R，由题意知OO，OFR，rR.S截面r22R2.又S球4R2，.10.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A.12对

6、B.24对 C.36对 D.48对答案B解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AB异面的直线有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4对，正方体ABCDA1B1C1D1有12条棱，排除重复计算的异面直线，异面直线共有12224(对).11.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是()A.AECE B.BEDEC.DE平面CEB D.平面ADE平面BCE考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题答案C解析由AB是底面圆的直径可知，AEB90，即AEEB.四边形ABCD是圆柱的轴截面，AD底面AEB，BC底面AEB.BEAD，ADAEA

7、，因此BE平面ADE.同理可得AECE，平面BCE平面ADE.可得A，B，D正确.而DE平面CEB不正确.故选C.12.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB60.侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，则下列说法错误的是()A.在棱AD上存在点M，使AD平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90C.二面角PBCA的大小为45D.BD平面PAC考点空间角问题题点空间角的综合应用答案D解析对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，侧面PAD为正三角形，PMAD，又底面ABCD是DAB60的菱形，ABD是等边三角形，ADBM，又PMBMM，AD平面PBM，故A正确.对于B

8、，AD平面PBM，ADPB，即异面直线AD与PB所成的角为90，故B正确.对于C，平面PBC平面ABCDBC，BCAD，BC平面PBM，BCPB，BCBM，PBM是二面角PBCA的平面角，设AB1，则BM，PM，在RtPBM中，tanPBM1，即PBM45，故二面角PBCA大小为45，故C正确.错误的是D，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MNBC于点M，则MN与AD的位置关系是 .考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线线垂直答案垂直解析平面BCC1B1平面ABCD，平面BCC1

9、B1平面ABCDBC，MN平面BCC1B1，MN平面ABCD.MNAD.14.已知平面，和直线m，给出以下条件：m；m；m；.要想得到m，则所需要的条件是 .(填序号)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案解析易知m.15.直角梯形的一个内角为45，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为(5)，则旋转体的体积为 .答案解析如图所示的是旋转体的半轴截面，设直角梯形的上底长为r，则下底长为r，C45，所以DE，DCr，所以旋转体的表面积为S表2rrr2(5).又因为S表(5)，所以r24，所以r2，所以V2r2.16.如图所示，边长为2a的正三角形AB

10、C的中线AF与中位线DE相交于点G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列结论，其中正确的结论有 (填上所有正确结论的序号).动点A在平面ABC上的射影在线段AF上.三棱锥AFED的体积有最大值.恒有平面AGF平面BCED.异面直线AE与BD不可能互相垂直.答案解析因为DEAG，DEGF，AGGFG，所以DE平面AGF，又DE平面BCED，所以平面AGF平面BCED，故正确.过A作AHAF，垂足为H，则AH平面AGF，所以AHDE，又DEAFG，所以AH平面ABC，所以H为A在平面ABC上的射影，故正确.三棱锥AFED的底面FED的面积是定值，高是点A到平面FED的距离，易证

11、当AG平面FED时，距离(即高)最大，即三棱锥AFED的体积最大，故正确。易知BDEF，所以AEF是异面直线AE与BD所成的角，因为正三角形ABC的边长为2a，AEa，EFa，而AF的长度的取值范围是(0，a)，所以当AFa时，AE2EF2AF2，即AEF90，此时直线AE与BD互相垂直，故错误.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形.(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积.解(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是

12、2，因此该几何体的表面积是24444264(cm2)，即几何体的表面积是64 cm2.(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，记长方体的体对角线为d，球的半径是r，d6(cm)，所以球的半径为r3(cm).因此球的体积Vr32736(cm3)，所以外接球的体积是36 cm3.18.(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别是PB，PC的中点.(1)证明：EF平面PAD；(2)求三棱锥EABC的体积V.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明(1)证明在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFB

13、C.四边形ABCD为矩形，BCAD，EFAD.又AD平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.(2)解如图，连接AE，AC，EC，过E作EGPA交AB于点G.则EG平面ABCD，且EGPA.在PAB中，APAB，PAB90，BP2，APAB，EG.SABCABBC2，VEABCSABCEG.19. (12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD平面ABF.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明(1)解 因为四边形ADEF是正方形，所以FAED

14、，故CED为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD，故EDCD.在RtCDE中，因为CD1，ED2，所以CE3，所以cosCED.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)证明如图，过点B作BGCD交AD于点G，则BGACDA45.由BAD45可得BGAB，从而CDAB.又因为CDFA，FAABA，所以CD平面ABF.20. (12分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点.求证：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)在正三棱柱ABC

15、A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F.又BF平面C1BF，C1F平面C1BF，B1F1，AF1平面C1BF，又B1F1AF1F1，B1F1，AF1平面AB1F1，平面AB1F1平面C1BF.(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，又B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.21.(12分)在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为CD的中点，沿AE将DAE折起到D1AE的位置，使平面D1AE平面ABCE.(1)求证：BED1A.(2)若F为

16、线段D1A的中点，求证：EF平面D1BC；考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)易证BEEA，平面D1AE平面ABCE.平面D1AE平面ABCEAE，BE平面D1AE.又D1A平面D1AE，BED1A.(2)取AB的中点G，连接EG，FG，则EGBC，FGD1B，BC平面D1BC，D1B平面D1BC，EG平面D1BC，FG平面D1BC，又EGFGG，EG平面EFG，FG平面EFG，平面EFG平面D1BC.EF平面EFG，EF平面D1BC.22. (12分)如图所示，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形.(1)

17、求证：DM平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明(1)证明M为AB的中点，D为PB的中点，DMAP.又DM平面APC，AP平面APC，DM平面APC.(2)证明PMB为正三角形，且D为PB的中点，MDPB.又由(1)知，MDAP，APPB.又已知APPC，PCPBP，PB，PC平面PBC，AP平面PBC，APBC.又ACBC，ACAPA，AC，AP平面ACP，BC平面APC.又BC平面ABC，平面ABC平面APC.(3)解由(2)知AP平面PBC，又MDAP，MD平面PBC.AB20，MB10，PB10.由(2)可知BCPC，又BC4，PC2.SBDCSPBCPCBC242.又MDAP5.V三棱锥DBCMV三棱锥MBCDSBDCDM2510.