§1 从位移、速度、力到向量 学案（含答案）

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1、1从位移、速度、力到向量学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识点一向量的概念向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量统称为向量(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量知识点二向量的表示方法1向量的表示(1)具有方向和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，以B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作|.(2)向量可以用有向线段来表示有向线段的长

2、度表示向量的大小，即长度(也称模)箭头所指的方向表示向量的方向(3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，来表示，书写用，来表示2长度为零的向量称为零向量，记作0或；与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.思考“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案错误理由是：向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段知识点三相等向量与共线向量1相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量2平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直

3、线平行或重合，则称这两个向量平行或共线(1)记法：a与b平行或共线，记作ab.(2)规定：零向量与任一向量平行思考(1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)零向量；(5)平行向量1如果|，那么.()2若a，b都是单位向量，则ab.()3若ab，且a与b的起点相同，则终点也相同()提示若ab，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同4零向量的大小为0，没有方向()题型一向

4、量的概念例1下列说法正确的是()A向量与向量的长度相等B两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C零向量没有方向D任意两个单位向量都相等答案A解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确故选A.反思感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题跟踪训练1下列说法中正确的是()A数量可以比较大小，向量也可以比较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小考点向量的概

5、念题点向量的性质答案D解析不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确题型二共线向量与相等向量例2如图所示，ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点(1)写出与共线的向量；(2)写出与的模相等的向量；(3)写出与相等的向量解(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EFBC且EFBC.又因为D是BC的中点，所以与共线的向量有，.(2)与模相等的向量有，.(3)与相等的向量有，.反思感悟相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量

6、的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量跟踪训练2如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心(1)与的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3)与共线的向量有哪些？解(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个(2)存在由正六边形的性质可知，BCAOEF，所以与长度相等、方向相反的向量有，共4个(3)由(2)知，BCAOEF，线段OD

7、，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，共9个题型三向量的表示及应用例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点(1)作出向量，；(2)求|.解(1)向量，如图所示(2)由题意知，与方向相反，故与共线又|，在四边形ABCD中，ABCD且ABCD，四边形ABCD为平行四边形，|200 km.反思感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向

8、量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆(作图略)特殊向量的作用典例给出下列命题：若ab，则a与b的方向相同或相反；若ab，bc，则ac；若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；若ab，bc，则ac，其中正确的是_(填序号)考点向量的概念题点向量的性质答案解析由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a0，则对于任意的向量b，都有ab，知错误；取b0，则对于任意的向量a，c都有a

9、b，bc，知错误；两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知错误；由两个向量相等的概念可知正确素养评析(1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆，否则在解决相关问题过程中容易出错(3)零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立.1在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是()A单位圆 B一段弧 C线段 D直线考点向量的表示方法题点向量答案A2下列结论正确的个数是()温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

10、向量的模是一个正实数；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；若|a|b|，则ab.A0 B1 C2 D3答案B解析温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为0，故错；向量不可以比较大小，故错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故对3若|且，则四边形ABCD的形状为()A平行四边形 B矩形C菱形 D等腰梯形考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的应用答案C解析因为，所以四边形ABCD为平行四边形，又|，即邻边相等，所以四边形ABCD为菱形，故选C.4已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m_.考点单位向量与

11、零向量题点零向量的性质答案0解析与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行5.如图所示，在以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中(1)写出与，相等的向量；(2)写出与的模相等的向量解(1)，.(2)与的模相等的向量有，.1向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用2共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.