§7 向量应用举例 学案（含答案）

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1、7向量应用举例学习目标1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离公式.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何、物理等问题的工具知识点一直线l：AxByC0的法向量1与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量2若直线l的方向向量v(B，A)，则直线l的法向量n(A，B)，与直线l的法向量n同向的单位向量n0.知识点二点到直线的距离公式若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：AxByC0的距离d.知识点三向量方法解决平面几何问题1平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来2向

2、量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系知识点四向量方法解决物理问题1物理上力做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W|F|s|cosF，s，功是一个实数，它可正可负，也可以为零力做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积2向量方法解决物理问题的步骤(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等(4)回

3、答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题1若ABC为直角三角形，则有0.()2在四边形ABCD中，若0，0，则四边形为菱形()3功是力F与位移s的数量积()4求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则()题型一平面向量在解析几何中的应用例1已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程解(1)由已知得点D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则.(x1，y1)，(2，2)，(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为

4、直线DE的方程同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，xy0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则.0.又(x6，y2)，(4,4)，4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程反思感悟利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算跟踪训练1在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平分线所在的直线方程解(3,4)，(8,6)，A的平分线的一个方向向量为a.设P(x，y)是角平分线上的任意一点，A的平分线过点A，a，又(x4，y1)，所求直线方程为(x4)(y1)0.整理得7xy290.题型二用平面向量求解平面几何

5、问题例2如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.考点平面几何中的向量方法题点向量在平面几何中的应用证明方法一设a，b，则|a|b|，ab0.又a，b，所以ab|a|2|b|20.故，即AFDE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220.所以，即AFDE.反思感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；把几何问题向量化(2)向量的坐标运算

6、法的四个步骤建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找出相应关系；把几何问题向量化跟踪训练2如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.证明方法一设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0，即DPEF.方法二如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，AP(0)，则D(0,1)，P，E，F.，220，即D

7、PEF.题型三向量在物理中的应用例3已知两恒力F1(3,4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功解(1)(7,0)(20,15)(13，15)，W1F1(3,4)(13，15)3(13)4(15)99，W2F2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3.力F1，F2对质点所做的功分别为99和3.(2)WF(F1F2)W1W2102，合力F对质点所做的功为102.反思感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积跟踪训练3一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3

8、的作用，沿北偏东45的方向移动了8 m，其中|F1|2 N，方向为北偏东30，|F2|4 N，方向为北偏东60，|F3|6 N，方向为北偏西30，求合力F所做的功解以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示则F1(1，)，F2(2，2)，F3(3,3)，所以FF1F2F3(22,24)又因为位移s(4，4)，所以合力F所做的功为WFs(22)4(24)44624(J)即合力F所做的功为24 J.平面向量在几何求值中的应用典例已知RtABC中，C90，设ACm，BCn.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CDAB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长

9、度(用m，n表示)解(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)因为D为AB的中点，所以D，所以|，|，所以|，即CDAB.(2)因为E为CD的中点，所以E，设F(x,0)，则，(x，m)因为A，F，E三点共线，所以，即(x，m).则故，即x，所以F，所以|，即AF.素养评析本题通过向量运算求出相应的模，这正体现了数学核心素养数学运算1已知在ABC中，若a，b，且ab0，则ABC的形状为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定答案A2过点A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直线方程为()A2xy70 B

10、2xy70Cx2y40 Dx2y40答案A解析设P(x，y)为直线上在一点，则a，即(x2)2(y3)10，即2xy70.3.用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N.答案10解析设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与G都成60角，且|F1|F2|，|F1|F2|G|10 N，每根绳子的拉力都为10 N.4已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_ J.答案300解析WFs|F|s|cosF，s6100cos 60300(J)5一艘船从南岸

11、出发，向北岸横渡根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向解如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1v2a.易求得a的方向是北偏东30，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则av3v，即v3va，由数形结合知，v3的方向是北偏西60，大小是 km/h.1利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立平面直角坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明2用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.