§5 从力做的功到向量的数量积 学案（含答案）

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1、5从力做的功到向量的数量积学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式知识点一两向量的夹角1.夹角：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB(0180)叫作向量a与b的夹角(如图所示)当0时，a与b同向；当180时，a与b反向2垂直：如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.规定零向量可与任一向量垂直知识点二平面向量数量积的物理背景及其定义1数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把

2、|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .2数量积的特殊情况当两个向量相等时，aa|a|2.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1e2|e1|e2|cos cos .知识点三平面向量数量积的几何意义1射影：若非零向量a，b的夹角为，则|b|cos 叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)2ab的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos 的乘积知识点四平面向量数量积的性质向量的数量积的性质(1)若e是单位向量，则eaae|a|cos .(2)abab0.(3)

3、|a|.(4)cos (|a|b|0)(5)对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立知识点五平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(数乘结合律)(3)a(bc)abac(分配律)思考若abbc，是否可以得出结论ac?答案不可以已知实数a，b，c(b0)，则abbcac，但是abbc推不出ac.理由如下：如图，ab|a|b|cos |b|OA|，bc|b|c|cos |b|OA|.所以abbc，但是ac.1向量a在向量b方向上的射影一定是正数()2若ab0，则a与b的夹角为钝角()3向量的数量积运算满足(ab)ca(bc)()4已知a

4、0，且acab，则bc.()题型一求两向量的数量积例1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).考点平面向量数量积的定义题点数量积运算与求值解(1)与的夹角为60.|cos 6011.(2)与的夹角为120，|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.反思感悟求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的射影，可利用数量积的几何意义

5、求ab.跟踪训练1已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积解(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)当ab时，90，ab|a|b|cos 900.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 304510.题型二求向量的模例2已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.解ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5.引申探究若本例中条件不变，求|2ab|，|a2b|.解ab|a|b|cos 55，|2ab|5.

6、|a2b|5.反思感悟求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a|，勿忘记开方跟踪训练2已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值解|3a2b|29|a|212ab4|b|292512ab42532512ab，|3a2b|5，32512ab25，ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400，故|3ab|20.题型三求向量的夹角例3(1)设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a2mn与b2n3m的夹角解|n|m|1且m与n的夹角是，mn|m|n|cos 11.|a|2mn|，|b|2n3m|，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a

7、与b的夹角为，则cos .又0，故a与b的夹角为.(2)已知非零向量a，b满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角及a与ab的夹角解如图所示，在平面内取一点O，作a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，使|，四边形OACB为菱形，OC平分AOB，这时ab，ab.由于|a|b|ab|，即|，AOC60，即a与ab的夹角为60.AOC60，AOB120，又|，OAB30，即a与ab的夹角为30.反思感悟(1)求向量的夹角，主要是利用公式cos 求出夹角的余弦值，从而求得夹角可以直接求出ab的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，ab三者之间的关系，然后代入求解(2)

8、求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是0，跟踪训练3已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，求a与b的夹角考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解(a2b)(ab)|a|22|b|2ab2.|a|b|2，ab2，设a与b的夹角为，cos ，又0，.向量的夹角与垂直问题典例(1)已知向量a，b满足(2ab)(ab)6，且|a|2，|b|1，则a与b的夹角为_答案解析设a与b的夹角为，依题意有：(2ab)(ab)2a2abb272cos 6，所以cos ，因为0，故.(2)已知向量a，b，且|a|1，|b|2，

9、(a2b)(3ab)，求向量a与b夹角的大小；求|a2b|的值解设a与b的夹角为，由已知得(a2b)(3ab)3a25ab2b2310cos 80，所以cos ，又0180，所以60，即a与b的夹角为60.因为|a2b|2a24ab4b2141613，所以|a2b|.素养评析向量既有大小又有方向，我们可以通过代数运算来求解夹角、模等，这正是数学核心素养数学运算的具体体现.1已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为，则ab等于()A1 B2 C3 D4考点平面向量数量积的定义题点数量积运算与求值答案A解析ab12cos1，故选A.2已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的射影为(

10、)A4 B4 C2 D2答案D解析向量b在a方向上的射影为|b|cosa，b4cos 1202.3设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于()A1 B2 C3 D5答案A解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，由得4ab4，ab1.4已知菱形ABCD的边长为a，ABC60 ，则等于()Aa2 Ba2 C.a2 D.a2答案D解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.()2aacos 60a2a2.5若ab，c与a及与b的夹角均为60，|a|1，|b|2，|c|3，则(a2bc)2_.答案11解析(a2bc)2a24b2c24ab2ac

11、4bc124223240213cos 60423cos 6011.1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆3在ab|a|b|cos 中，|b|cos 和|a|cos 分别叫作b在a方向上的射影和a在b方向上的射影，要结合图形严格区分4求射影有两种方法(1)b在a方向上的射影为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上的射影为|a|cos .(2)b在a方向上的射影为，a在b方向上的射影为.5两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|.