2.2 向量的减法 学案（含答案）

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1、2.2向量的减法学习目标1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算知识点一相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量(2)(a)a.(3)a(a)(a)a0.(4)若a与b互为相反向量，则ab，ba，ab0.知识点二向量的减法1定义：向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即aba(b)求两个向量差的运算，叫作向量的减法2.几何意义：在平面内任取一点O，作a，b，则向量ab，如图所示3文字叙述：如果把向量a与b的起点放在O点，那么由向量b的终点B指向被减向量a的终点A

2、，得到的向量就是ab.思考若a，b是不共线向量，|ab|与|ab|的几何意义分别是什么？答案如图所示，设a，b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有ab，ab.因为四边形OACB是平行四边形，所以|ab|，|ab|，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长知识点三|a|b|，|ab|，|a|b|三者的关系当向量a，b不共线时，作a，b，则ab，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有|a|b|ab|b|，作法同上，如图(3)，此时|ab|a|b|.故对于任意向量a，b，总有|a|b|ab|a|b|.因为|ab|a(b)|，所以|a|b|ab|a|b|，即|a|b|a

3、b|a|b|.将两式结合起来即为|a|b|ab|a|b|.1相反向量就是方向相反的向量()提示相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系2向量与是相反向量()提示与大小相等、方向相反3，(a)a.()提示根据相反向量的定义可知其正确4两个相等向量之差等于0.()提示两个相等向量之差等于0.题型一向量减法的几何作图例1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解方法一如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.方法二如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，连接OC，则abc.引申探究若本例条件不变，则abc如何作？解如图，在平面内任

4、取一点O，作a，b，则ab.再作c，则abc.反思感悟在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点时，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量跟踪训练1如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量ab，cd.解如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，c，d.则ab，cd.题型二向量减法法则的应用例2化简下列式子：(1)；(2)()()解(1)原式0.(2)原式()()0.反思感悟向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点

5、字母为终点跟踪训练2化简：(1)()()；(2)()()解(1)()().(2)()()()0.题型三向量减法几何意义的应用例3已知|6，|9，求|的取值范围解|，且|9，|6，3|15.当与同向时，|3；当与反向时，|15.|的取值范围为3,15反思感悟(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若a，b，则ab，ab.(2)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相反且|a|b|时，|a|b|ab|；当a与b方向相同时，|ab|a|b|.(3)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相同且|a|b|时，|a|b|ab|；当a与b方向相反时，|ab|a|b|.跟踪训练3在四边形ABC

6、D中，设a，b，且ab，若|ab|ab|，则四边形ABCD的形状是()A梯形 B矩形 C菱形 D正方形答案B解析ab，四边形ABCD为平行四边形又ab，|ab|ab|，|.四边形ABCD为矩形利用已知向量表示未知向量典例如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则_.(用a，b，c表示)答案abc解析因为，所以，所以abc.素养评析本题主要考查平面向量的加法、减法运算，利用已知向量表示未知向量，这正体现了数学运算的核心素养.1如图所示，在ABCD中，a，b，则用a，b表示向量和分别是()Aab和abBab和baCab和baDba和ba答案B解析由向量的加法、减法法则，得ab，ba.故

7、选B.2化简的结果等于()A. B. C. D.答案B3若菱形ABCD的边长为2，则|_.答案2解析2.4若向量a与b满足|a|5，|b|12，则|ab|的最小值为_，|ab|的最大值为_答案7175.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，及.解四边形ACDE是平行四边形，c，ba，ca，cb，bac.1向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如aba(b)2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆3平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别为a，b，则两条对角线表示的向量为ab，ba，ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握