§6 余弦函数的图像与性质 学案（含答案）

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1、6余弦函数的图像与性质学习目标1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求yAcos xB的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式知识点一余弦函数的图像余弦函数ycos x(xR)的图像叫作余弦曲线思考类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，ycos x，x0,2五个关键点分别是什么？答案能，五个关键点分别是(0,1)，(，1)，.知识点二余弦函数的性质函数ycos x定义域R图像值域1,1奇偶性偶函数周期性以2k为周期(kZ，k0)，2为最小正周期单调性当x2k，2k(k

2、Z)时，函数是增加的；当x2k，2k(kZ)时，函数是减少的最大值与最小值当x2k(kZ)时，最大值为1；当x2k(kZ)时，最小值为1对称轴xk，kZ对称中心，kZ1余弦函数ycos x的图像与x轴有无数个交点()2余弦函数ycos x的图像与ysin x的图像形状和位置都不一样()提示函数ycos x的图像与ysin x的图像形状一样，只是位置不同3存在实数x，使得cos x.()提示余弦函数最大值为1.4余弦函数ycos x在区间0，上是减函数()提示由余弦函数的单调性可知正确题型一用“五点法”作余弦函数的图像例1用“五点法”作函数y1cos x(0x2)的简图解列表：x02cos x1

3、01011cos x01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示反思感悟作形如yacos xb，x0,2的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：列表，取x0，2；描点；用光滑曲线连线成图跟踪训练1用“五点法”作函数y2cos x1，x0,2的简图解x0,2，令x0，2，列表得：x02cos x10101y31113描点，连线得：题型二余弦函数的定义域和值域例2(1)求f(x)的定义域解要使函数有意义，则2cos x10，cos x，2kx2k，定义域为.(2)求下列函数的值域ycos2xcos x；y.解y2.1cos x1，当cos x时，ymax.当cos x1时，ymin2.函数ycos

4、2xcos x的值域是.y1.1cos x1，12cos x3，1，4，13，即y3.函数y的值域为.反思感悟求值域或最大值、最小值问题的依据(1)sin x，cos x的有界性(2)sin x，cos x的单调性(3)化为sin xf(y)或cos xf(y)，利用|f(y)|1来确定(4)通过换元转化为二次函数跟踪训练2函数ycos2xcos x1的值域是_答案解析设cos xt，x，则t，ycos2xcos x12，t，当t，即x时，ymax，当t1，即x0时，ymin1，函数的值域为.题型三余弦函数单调性的应用例3(1)函数y32cos x的递增区间为_答案2k，2k(kZ)解析y32

5、cos x与y32cos x的单调性相反，由y32cos x的递减区间为2k，2k(kZ)，得y32cos x的递增区间为2k，2k(kZ)(2)比较cos与cos的大小解coscoscos，coscoscos，2，coscos，即cos”连接)答案cos 1cos 2cos 3解析由于0123cos 2cos 3.正弦、余弦函数性质的综合应用典例已知函数f(x)下列说法正确的是()A该函数值域为1,1B当且仅当x2k(kZ)时，函数取最大值1C该函数是以为最小正周期的周期函数D当2kx2k(kZ)时，f(x)0考点正弦、余弦函数性质的综合应用题点正弦、余弦函数性质的综合应用答案D解析将函数y

6、sin x，ycos x的图像画在同一坐标系中，如图所示(黑色曲线表示函数ysin x的图像，灰色曲线表示函数ycos x的图像)，本题分段函数f(x)表示的是当x取相同值时的图像位于上方的函数值，由图像知值域为，A错误；当x2k或2k(kZ)时，函数取得最大值1，B错误；若函数是以为最小正周期的函数，则f(0)f()，而f(0)1，f()0，显然不相等，C错误；当2kx2k(kZ)时，f(x)0，D正确素养评析本例中给出一个分段函数，要研究其相关性质通过作出函数图像，借助几何直观使问题得解，这正是数学核心素养直观想象的具体体现.1函数f(x)sincos的最大值为()A. B1 C. D.答

7、案A解析，f(x)sincossincossinsinsin.f(x)max.故选A.2下列函数中，周期为，且在上为增函数的是()Aysin BycosCysin Dycos答案B3函数f(x)lg cos x的定义域为_答案解析由题意，得x满足不等式组即作出ycos x的图像，如图所示由图可得5x或x或(2)解析(1)01535cos 35.(2)0，且ycos x在上是增加的，coscos.5函数ycos(x)，x0,2的递减区间是_答案0，解析ycos(x)cos x，其递减区间为0，1对于yacos xb的图像可用“五点法”作出其图像，其五个关键点是最高点、最低点以及图像与x轴相交的点2通过观察ycos x，xR的图像，可以总结出余弦函数的性质3利用余弦函数的性质可以比较余弦型三角函数值的大小及求最值.