第一章三角函数 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫作的正弦，记作sin ，即sin y；(2)x叫作的余弦，记作cos ，即cos x；(3)叫作的正切，记作tan ，即tan (x0)2诱导公式诱导公式可以统一概括为“k(kZ)”的诱导公式当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把视为锐角时原函数值的符号记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”3正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)；对称

2、中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：(kZ)对称中心：(kZ)，无对称轴奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期：2最小正周期：2最小正周期：单调性在(kZ)上是增加的；在(kZ)上是减少的在2k，2k(kZ)上是增加的；在2k，2k(kZ)上是减少的在开区间(k，k)(kZ)上是增加的最值在x2k(kZ)时，ymax1；在x2k(kZ)时，ymin1在x2k(kZ)时，ymax1；在x2k(kZ)时，ymin1无最值题型一三角函数的化简与求值例1已知角的终边经过单位圆上的点P.(1)求sin 的值；(2)求的值解(1)点P在单位圆上，由正弦的定义得sin .(2)原式，由

3、余弦的定义得cos ，故原式.反思感悟解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值，充分利用诱导公式，进行化简求值跟踪训练1化简：.解1.题型二三角函数的图像与性质例2将函数yf(x)的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数ysin x的图像(1)求f(x)的最小正周期和递增区间；(2)若函数yg(x)与yf(x)的图像关于直线x2对称，求当x0,1时，函数yg(x)的最小值和最大值解(1)函数ysin x的图像向下平移1个单位长度得ysin x1，再将得到的图像上的点的横坐标伸长为原来的倍，得到ysinx1的图像，然后向右平移1个单位长

4、度，得到ysin1的图像，函数yf(x)的最小正周期为T6.由2kx2k，kZ，得6kx6k，kZ，函数yf(x)的递增区间是，kZ.(2)函数yg(x)与yf(x)的图像关于直线x2对称，当x0,1时，yg(x)的最值即为x3,4时，yf(x)的最值当x3,4时，x，sin，f(x).当x0,1时，yg(x)的最小值是1，最大值为.反思感悟研究yAsin(x)的单调性、最值问题，把x看作一个整体来解决跟踪训练2函数f(x)3sin的部分图像如图所示(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)的最小正周期为，x0，y03.(2)因

5、为x，所以2x，于是，当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.题型三三角函数的最值和值域命题角度1可化为yAsin(x)k型例3求函数y2sin3，x0，的最大值和最小值解x0，x，sin1.当sin1，即x时，y取得最小值1.当sin，即x时，y取得最大值4.函数y2sin3，x0，的最大值为4，最小值为1.反思感悟利用yAsin(x)k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响跟踪训练3函数f(x)sincos的最大值为()A. B1 C. D.考点正弦、余弦函数的最大(小)值题点正弦、余弦函数的最大(小)值答案A解析，f(x)sincossinco

6、ssinsinsin.f(x)max.故选A.命题角度2分式型函数利用有界性求值域例4求函数y的值域解方法一原函数变形为y1，|cos x|1，32cos x11且2cos x10，2或，则函数的值域为.方法二原函数变形为cos x，|cos x|1，1且，函数的值域为.反思感悟在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题跟踪训练4求函数y的最大值和最小值解y3.1sin x1，当sin x1时，ymax3，当sin x1时，ymin32，函数y的最大值为，最小值为2.题型四数形结合思想在三角函数中的应用例5如果关于x的方程sin2x(

7、2a)sin x2a0在x上有两个实数根，求实数a的取值范围解sin2x(2a)sin x2a0，即(sin x2)(sin xa)0.sin x20，sin xa，因此此题转化为求在x上，sin xa有两个实数根时a的取值范围由ysin x，x与ya的图像(图略)知，a0时，两函数图像如图所示，两图像有3个公共点，同理，当xsin x，所以当x时，ysin x与ytan x没有公共点，因此函数ysin x与ytan x在区间0,2内的图像如图所示，观察图像可知，函数ytan x与ysin x在区间0,2上有3个交点素养评析通过函数图像直观得出交点个数，这正体现了数学核心素养直观想象1若sin

8、()，那么cos的值为()A. B C. D答案A解析因为sin()sin ，所以coscoscossin .2y的最小值是()A2 B2 C1 D1考点正弦、余弦函数的最大(小)值题点正弦函数的最大(小)值答案B解析由y2，当sin x1时，y取得最小值2.3函数ysin(2x)的图像沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能的值为()A B0 C. D.考点三角函数图像的平移、伸缩变换题点三角函数图像的平移变换答案C解析平移后的图像对应的函数为ysinsin.因为此函数为偶函数，所以k(kZ)，所以的一个可能值为.4函数f(x)2sin(x)的部分图像如图所示，则，的值分别是()A2， B2， C4， D4，答案A解析从图像可得T，T，2.又f2sin2sin2，且，.5已知函数f(x)2sina，a为常数(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的递增区间；(3)若x时，f(x)的最小值为2，求a的值解(1)f(x)2sina，所以f(x)的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的递增区间为(kZ)(3)当x时，2x，所以当x0时，f(x)取得最小值，即2sina2，故a1.