4.3 向量平行的坐标表示 学案（含答案）

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1、4.3向量平行的坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法知识点向量平行设a，b是非零向量，且a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当ab时，有x1y2x2y10.(2)当ab且b不平行于坐标轴，即x20，y20时，有.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行1若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab，则.()提示当y1y20时不成立2若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y1x2y20，则ab.()3若向量a(x1，y1)，b(x

2、2，y2)，且x1y2x2y10，则ab.()题型一向量共线的判定例1(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)答案D解析A选项，(2)634240，a与b不平行；B选项，22334950，a与b不平行；C选项，114(2)7280，a与b不平行；D选项，(3)(4)2612120，ab，故选D.(2)在下列向量组中，可以把向量a(3,7)表示出来的是()Ae1(0,1)，e2(0，2)Be1(1,5)，e2(2，10)Ce1(5,3)，e2(2,1)De1(7,8)，e2(7，8)考点平

3、面向量共线的坐标表示题点向量共线的判定答案C解析平面内不共线的两个向量可以作基底，用它能表示此平面内的任何向量，因为A，B，D都是两个共线向量，而C不共线，故C可以把向量a(3,7)表示出来反思感悟向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配跟踪训练1下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2考点平面向量共线的坐标表示题点向量共线的判定答案B解析A选项，e10，e1e2，不可以作为基底；

4、B选项，1725170，e1与e2不共线，故可以作为基底；C选项，310560，e1e2，故不可以作为基底；D选项，2(3)0，e1e2，不可以作为基底故选B.题型二利用向量共线求参数例2已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？解方法一kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，得解得k.方法二由方法一知kab(k3,2k2)a3b(10，4)，kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.引申探究1若本例条件不变，判断当k

5、ab与a3b平行时，它们是同向还是反向？解由例2知当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，0，kab与a3b反向2在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与3ab平行？”，又如何求k的值？解akb(1,2)k(3,2)(13k,22k)，3ab3(1,2)(3,2)(6,4)akb与3ab平行，(13k)4(22k)60，解得k.反思感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解跟踪训练2设向量a(1,2)，b(2,3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.答案2解

6、析ab(1,2)(2,3)(2,23)，ab与c共线，(2)(7)(23)(4)20，2.题型三三点共线问题例3已知A(1，3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线证明，(8,4)，7480，.又，有公共点A，A，B，C三点共线反思感悟(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线跟踪训练3已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)当k为何值时，A，B，C三点共线？解(4k，7)，(1

7、0k，k12)，若A，B，C三点共线，则，(4k)(k12)7(10k)，解得k2或11.又，有公共点A，当k2或11时，A，B，C三点共线由向量共线求参数的值典例已知向量a(2，m1)，b(m3,4)，且(ab)(ab)，则m等于()A1 B5C1或5 D5答案C解析因为向量a(2，m1)，b(m3,4)，所以ab(m5，m5)，ab(m1，m3)，又因为(ab)(ab)，所以(m5)(m3)(m1)(m5)0，即(m5)(m1)0，解得m1或m5.素养评析(1)由向量共线求参数的值的方法(2)本题利用向量共线的坐标表示得到有关参数的方程(组)，再解得参数的值，这正是数学核心素养数学运算的体

8、现.1已知a(1,2)，b(2，y)，若ab，则y的值是()A1 B1 C4 D4答案D解析ab，(1)y220，y4.2与a(6,8)平行的单位向量为()A.B.C.或D.答案C解析设与a平行的单位向量为e(x，y)，则或3若a(，cos )，b(3，sin )，且ab，则锐角_.考点向量共线的坐标表示的应用题点已知向量共线求参数答案解析a(，cos )，b(3，sin )，ab，sin 3cos 0，即tan ，又为锐角，故.4已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为_答案6解析(2,4)(1,2)(1,2)，(3，m)(1,2)(2，m2)A，B，C三点共线，即向

9、量，共线，存在实数使得，即(1,2)(2，m2)(2，m2)即当m6时，A，B，C三点共线5已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，1)，(1,2)，(1,1)，(3，5)求证：四边形ABCD是梯形证明A(3，1)，B(1,2)，C(1,1)，D(3，5)，(2,3)，(4，6)2，即|，ABCD，且ABCD，四边形ABCD是梯形1两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0时，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例2向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标，判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.