2020北师大版高中数学必修4 第二章平面向量 章末检测试卷含答案

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1、章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1若(1,2)，(1，1)，则等于()A(2,3) B(0,1)C(1,2) D(2，3)考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案D解析(1,2)，(1，1)，所以(11，12)(2，3)2设e1，e2为基底向量，已知向量e1ke2，2e1e2，3e13e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A2 B3 C2 D3答案A解析易知e12e2(e12e2)，又A，B，D三点共线，则，则k2，故选A.3(2017全国)设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()Aab

2、B|a|b|Cab D|a|b|答案A解析方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.4已知A(2，3)，(3，2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为()AB(5，5)，M(0,0)BB(5，5)，MCB(1,1)，M(0,0)DB(1,1)，M考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案B解析设O(0,0)为坐标原点，则(2，3)(3，2)(5，5)，AB中点M.5向量a(1，1)，b(1,2)，则(2

3、ab)a等于()A1 B0 C1 D2答案C解析2ab(2，2)(1,2)(1,0)，(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C.6已知向量a(1,0)，b(cos ，sin )，则|ab|的取值范围是()A0， B(1， C1,2 D，2考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模答案D解析|ab|.因为，所以cos 0,1所以|ab|，27已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC，设 (R)，则的值为()A1 B. C. D.答案D解析过C作CEx轴于点E.由AOC，|OC|2，得|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.8

4、向量(4，3)，向量(2，4)，则ABC的形状为()A等腰非直角三角形 B等边三角形C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析(4，3)，(2，4)，(2，1)(2,1)(2,4)0，C90，且|，|2，|，ABC是直角非等腰三角形9若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D答案A解析由(ab)(3a2b)，得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20，cos .又0，.10在ABC中，P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP

5、的交点为M.若t，则t的值为()A. B. C. D.答案D解析因为A，M，Q三点共线，所以可设.又因为tttt，所以t，.将它们代入，得t.由于，不共线，从而解得故选D.11已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 B C D1答案B解析以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1,0)，C(1,0)设P点的坐标为(x，y)，则P(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.当且仅当x0，y时，()取得最小值，最小值为.故

6、选B.12若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D2答案B解析由已知可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，由|c|1，(ac)(bc)0，得故xy1.所以|abc|1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知向量a，b满足(a2b)(5a4b)0，且|a|b|1，则a与b的夹角为 _.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角答案解析因为(a2b)(5a4b)0，|a|b|1，所以6ab850，即ab.又ab|a|b|cos cos ，所以cos ，因为0，所以.14(2018山西太原联考)已知单

7、位向量e满足|ae|a2e|，则向量a在e方向上的射影为_考点向量的射影题点向量的射影答案解析由|ae|a2e|得(ae)2(a2e)2，于是|a|22ae1|a|24ae4，解得ae，于是向量a在e方向上的射影为.15.如图所示，半圆的直径AB2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是_答案解析因为点O是A，B的中点，所以2，设|x，则|1x(0x1)，所以()22x(1x)22.所以当x时，()取到最小值.16已知非零向量a，b满足ab，且a2b与a2b的夹角为120，则_.答案解析ab，ab0.(a2b)(a2b)a24b2，|a2b|，|a

8、2b|，a24b2cos 120，化简得a22b20，.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知(1,3)，(3，m)，(1，n)，且.(1)求实数n的值；(2)若，求实数m的值考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解因为(1,3)，(3，m)，(1，n)，所以(3,3mn)，(1)因为，所以，即解得n3.(2)因为(2,3m)，(4，m3)，又，所以0，即8(3m)(m3)0，解得m1.18(12分)(2018定远育才学校月考)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|b|2，且ab，求b的坐标；(2)若|c|，且2

9、ac与4a3c垂直，求a与c的夹角.解(1)设b(x，y)，因为ab，所以y2x.又因为|b|2，所以x2y220.由联立，解得b(2,4)或b(2，4)(2)由已知(2ac)(4a3c)，得(2ac)(4a3c)8a23c22ac0，由|a|，|c|，解得ac5，所以cos ，又0，所以a与c的夹角.19(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(2,1)，A(1,0)，B(cos ，t)(1)若a，且|，求向量的坐标；(2)若a，求ycos2cos t2的最小值解(1)(cos 1，t)，a，2tcos 10.cos 12t.|，(cos 1)2t25.由，得t21，t1.当t

10、1时，cos 3(舍去)，当t1时，cos 1，B(1，1)，(1，1)(2)由式可知t，ycos2cos cos2cos 2，当cos 时，ymin.20(12分)如图所示，在ABC中，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表示和；(2)如果，求实数和的值；(3)确定点P在边BC上的位置解(1)由，可得.，.(2)将，代入，则有，即(1)(1)，解得(3)设m，n.由(2)知，nnmmm，解得，即2，点P在BC的三等分点且靠近点C处21(12分)(2017江西南昌三中高一期末)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满

11、足，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图所示(1)求OCM的余弦值；(2)是否存在实数，使()？若存在，求出满足条件的实数的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)由题意，可得(6,0)，(1，)，(3,0)，(2，)，(1，)cosOCMcos，.(2)设P(t，)，其中1t5，则(t，)，(6t，)若()，则()0，即122t30，(2t3)12，若t，则不存在；若t，则.t.(，12.即满足条件的实数存在，实数的取值范围为(，12.22(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t).(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取得最大值4时，求.解(1)由题设知(n8，t)，a，8n2t0.又|，564(n8)2t25t2，得t8.当t8时，n24；当t8时，n8，(24,8)或(8，8)(2)由题设知(ksin 8，t)，与a共线，t2ksin 16，tsin (2ksin 16)sin 2k2.k4，01，当sin 时，tsin 取得最大值.由4，得k8，此时，(4,8)(8,0)(4,8)32.