2020北师大版高中数学必修4模块综合试卷及答案

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1、模块综合试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1sin 300等于()A B C. D.考点诱导公式一题点诱导公式一答案A解析sin 300sin(60360)sin(60)sin 60，故选A.2若角是第二象限角，且cos ，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C解析由角是第二象限角，易得是第一、三象限角又cos ，所以角是第三象限角3已知向量a(cos 75，sin 75)，b(cos 15，sin 15)，则|ab|的值为()A. B1 C2 D3答案B解析如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a，b，则|

2、ab|且xOA75，xOB15，于是AOB60，又因为|a|b|1，则AOB为正三角形，从而|ab|1.4函数y3sincos的最小正周期为()A. B. C8 D4答案A5已知cos()，cos()，则tan tan 等于()A. B C. D答案B解析因为cos()，cos()，所以解得所以tan tan .6同时具有以下性质：“最小正周期是；图像关于直线x对称；在上是增函数”的一个函数是()Aysin BycosCysin Dycos答案C解析ysin1；由x，得2x，符合，故选C.7.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大

3、正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2cos2的值等于()A1 B C. D答案D解析小正方形的边长为cos sin ，即(cos sin )2，得cos ，sin ，故sin2cos2.8已知sincos ，则cos等于()A B.C D.答案D解析由sincos ，得sin cos cos sin cos sin，故coscos12sin21.9已知|p|2，|q|3，p，q的夹角为，如图，若5p2q，p3q，D为BC的中点，则|为()A. B. C7 D18答案A解析()(6pq)，| .10如图，在圆O中，若弦AB3，弦AC5，则的值是()

4、A8 B1 C1 D8考点题点答案D解析取BC的中点D，连接AD，OD(图略)，则有ODBC.()，()()()(22)(5232)8，故选D.11函数y在一个周期内的图像是()考点正、余弦函数图像的综合应用题点正、余弦函数图像的综合应用答案B解析ycos x(sin x)2sin xcos xsin 2x，故选B.12如果将函数f(x)sin 2x的图像向左平移(0)个单位长度，函数g(x)cos的图像向右平移个单位长度后，二者能够完全重合，则的最小值为()A. B. C. D.考点三角函数图像的平移和伸缩变换题点三角函数图像的平移变换答案C解析将函数f(x)sin 2x的图像向左平移(0)

5、个单位长度得到ysin2(x)sin(2x2)的图像，将函数g(x)cos的图像向右平移个单位长度后，可得函数g(x)coscossinsinsin的图像二者能够完全重合，由题意可得2x22x22k，kZ，解得k(kZ)，又0，故当k0时，min.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13函数yAsin(x)(A0，0)的部分图像如图所示，则f(1)f(2)f(3)f(11) .答案22解析由图像可知，f(x)2sin的周期为8，f(1)f(2)f(3)f(11)f(1)f(2)f(3)2sin2sin2sin22.14设向量a(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则

6、实数 .考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数答案3解析因为ab(3，3)，ab(3，3)，又(ab)(ab)，所以(ab)(ab)(3)(3)(3)(3)0，解得3.15函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为 考点三角函数中的数学思想题点三角函数中的数形结合思想答案2解析f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令f(x)0，得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐标系中作出函数ysin 2x与函数y|ln(x1)|的大致图像如图所示观察图像可知，两函数图像有2个交点，

7、故函数f(x)有2个零点16关于函数f(x)coscos，有下列说法：yf(x)的最大值为；yf(x)是以为最小正周期的周期函数；yf(x)在区间上是减少的；将函数ycos 2x的图像向左平移个单位长度后，将与已知函数的图像重合其中正确说法的序号是 考点正、余弦函数性质的综合应用题点正、余弦函数性质的综合应用答案解析f(x)coscoscoscoscossincoscos，所以正确，错误三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因为sin cos ，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(

8、2)因为，所以，故.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin().18(12分)设向量e1，e2的夹角为60且|e1|e2|1，如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)(1)证明：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k的值，使k的取值满足向量2e1e2与向量e1ke2垂直考点平面向量平行与垂直的坐标表示及应用题点向量平行与垂直的坐标表示的综合应用(1)证明因为e1e2，5e15e2，所以5，即，共线，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)解因为(2e1e2)(e1ke2)，所以(2e1e2)(e1ke2)0，2e2ke1e2e1e2ke0，即2kk

9、0，解得k.19(12分)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期为T.(2)令z2x，则函数y2sin z的递增区间是，kZ.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ.设A，B，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上是增加的，在区间上是减少的20(12分)如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形AB

10、CD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是POQ的平分线，E在上，连接OC，记COE，则角为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积考点简单的三角恒等变换的应用题点三角恒等变换的实际应用解设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在RtONC中，CNsin ，ONcos ，OMDMCNsin .所以MNONOMcos sin ，即ABcos sin ，而BC2CN2sin ，故S矩形ABCDABBC(cos sin )2sin 2sin cos 2sin2sin 2(1cos 2)sin 2cos 222sin.因为0，所以02，20,

11、0)的部分图像如图所示(1)求f(x)的解析式；(2)将函数yf(x)的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到函数yg(x)的图像，求g(x)的递增区间；(3)当x时，求函数yff的最值解(1)由题图得T，T2，1.又由f0，得Asin0，2k，kZ，2k，kZ.又0，当k1时，.又由f(0)2，得Asin 2，A4，f(x)4sin.(2)将f(x)4sin的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y4sin，再将图像向右平移个单位长度，得到g(x)4sin4sin，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，g(x)的递增区间为(kZ)

12、(3)yff4sin4sin4sin4sin44cos x2sin x2cos x4cos x2sin x2cos x4sin.x，x，sin，函数的最小值为4，最大值为2.22(12分)已知向量a(sin 2x，cos 2x)，b(cos 2x，cos 2x)(1)当x时，ab，求cos 4x的值；(2)若cos x，x(0，)，方程abm有且仅有一个实数根，求实数m的值考点方程思想在三角恒等变换中的应用题点方程思想在三角恒等变换中的应用解(1)absin 2xcos 2xcos22x.absin 2xcos 2xcos22xsin 4xsin 4xcos 4xsin.x，4x，4x，cos，cos 4xcoscoscossinsin .(2)cos x，且cos x在(0，)上是减函数，0x.令f(x)absin，x，g(x)m.则方程abm有且仅有一个实数根转化为函数f(x)和g(x)的图像仅有一个交点在同一坐标系中作出两个函数的图像，由图可知m1或m.