§2 实际问题的函数建模 学案（含答案）

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1、2实际问题的函数建模学习目标1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.2.学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题.知识点一实际问题的函数刻画设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.知识点二用函数模型解决实际问题用函数模型解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型.(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，

2、建立相应的数学模型.(3)求模：求解数学模型，得到数学结论.(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.可将这些步骤用框图表示如下：知识点三数据拟合1.定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律.这种方法称为数据拟合.2.数据拟合的步骤：(1)以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；(2)依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般

3、形式；(3)取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；(4)做必要的检验.1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.()2.用来拟合散点图的函数图像一定要经过所有散点.()3.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.()4.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.()题型一利用已知函数模型求解实际问题例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程.考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用解因为

4、火车匀速运动的时间为(27713)120 (h)，所以0t.因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t，所以，火车行驶的总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S13120t.2 h内火车行驶的路程S13120233(km).反思感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质.跟踪训练1如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后，水面宽_米.考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用答案2解析以拱顶为原点，过原点与水面平行

5、的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，2)，设抛物线所对应的函数关系式为yax2(a0)，则2a22，a，yx2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，3)，将B点的坐标代入yx2，得b，因此水面宽2米.题型二自建确定性函数模型解决实际问题命题角度1非分段函数模型例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？考点函数模型的综合应用题点函数模型中

6、的最值问题解设可获得总利润R(x)万元，则R(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210).R(x)在0,210上是增函数，当x210时，R(x)max(210220)21 6801 660(万元).当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.反思感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条

7、件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.跟踪训练2有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1x，Q2.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？考点函数模型的综合应用题点函数模型中的最值问题解设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3x)万元，总利润为y万元.所以Q1x，Q2.所以yx(0x3)，令t(0t)，则x3t2.所以y(3t2)t2.当t时，ymax1.05(万元)，即x0.75(万元)，所以3x2.25(万元).由此可知，为获得最大利润，对甲、乙

8、两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元.命题角度2分段函数模型例3某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入.(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？考点函数

9、模型的应用题点分段函数模型的应用解(1)当x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3.又因为xN，所以3x6，且xN.当6x20，且xN时，y503(x6)x1153x268x115，综上可知yf(x)(2)当3x6，且xN时，因为y50x115是增函数，所以当x6时，ymax185元.当6x20，且xN时，y3x268x11532，所以当x11时，ymax270元.综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元.反思感悟自变量x取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典型特征，建立分段函数模型应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏

10、.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.跟踪训练3学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图的图像.当x(0,12时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x12,40时，图像是线段BC，其中C(40,50).根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.(1)试求yf(x)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.

11、考点函数模型的应用题点分段函数模型的应用解(1)当x(0,12时，设f(x)a(x10)280(a0).因为该部分图像过点B(12,78)，将B点的坐标代入上式，得a，所以f(x)(x10)280.当x12,40时，设f(x)kxb(k0).因为线段BC过点B(12,78)，C(40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组解得所以f(x)x90.故所求函数的关系式为f(x)(2)由题意，得或解得4x12或12x28，即4x28.故老师在x(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x45678910y15171

12、921232527A.一次函数模型 B.幂函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用答案A解析根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.2.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为()A.17 B.18 C.19 D.20考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案C3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A.y B.y(0.957 6)100

13、xC.yx D.y1考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案A4.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123y138则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是()A.y2x1 B.yx21C.y2x1 D.y1.5x22.5x2考点函数拟合问题题点据实际问题选择函数模型答案D5.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A.yaxb B.yax2bxcC.yaexb D.yaln xb考点函数拟合问题题点据实际问题选择函数模型答案B解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.