§2 指数扩充及其运算性质 学案（含答案）

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1、2指数扩充及其运算性质学习目标1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质.3.能用实数指数幂运算性质化简、求值.知识点一分数指数幂(1)定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bnam，我们把b叫作a的次幂，记作b.(2)意义正分数指数幂负分数指数幂0的分数指数幂前提条件a0，m，n均为整数，m，n互素结论0，无意义知识点二无理数指数幂无理数指数幂a(a0，是无理数) 是一个确定的正实数.至此，指数幂a的指数取值范围扩充为R.知识点三实数指数幂的运算性质一般地，在研究实数指数幂的运算性

2、质时，约定底数为大于零的实数.一般地，当a0，b0时，有：(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)(ab)nanbn，其中m，nR.知识点四实数指数幂的化简实数指数幂的化简中，先把根式、分式都化为实数指数幂的形式，再利用指数幂运算性质化简.1. ()2.(2)(3)(2)(3).()3.当a0时，(ar)s(as)r.()4.R.()题型一根式与分数指数幂之间的相互转化命题角度1分数指数幂化根式例1用根式的形式表示下列各式(x0).(1)；(2).考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化解(1).(2).反思感悟实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便.

3、而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握.跟踪训练1用根式表示(x0，y0).考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化解命题角度2根式化分数指数幂例2把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a0，b0.(1)；(2)；(3)；(4).考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化解(1).(2)(3)(4)a3.反思感悟指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a0时，有时有意义，有时无意义.如但就不是实数了.为了保证在取任何实数时，都有意义，所以规定a0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分.跟踪训练2把下

4、列根式化成分数指数幂.(1) ；(2)(a0)；(3)b3；(4) .考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化解(1) (2)(3)(4)题型二运用指数幂运算公式化简求值例3计算下列各式(式中字母都是正数).(1) (2) (3)考点有理数指数幂的运算性质题点有理数指数幂的四则混合运算解(1)(2)原式2(6)(3)4ab04a.(3)原式113.反思感悟一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.跟踪训练3(1)化简： (2)化简：考点有理数指数幂的运算性质题点有理数

5、指数幂的四则混合运算解(1)原式(2)指数幂运算中的条件求值典例1已知am4，an3，求的值.解(ama2n).典例2已知，求下列各式的值.(1)aa1；(2)a2a2；(3)解(1)，即a2a19，aa17.(2)aa17，(aa1)249，即a22a249.a2a247.(3)3(71)18.素养评析(1)条件求值问题的解法求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法.利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.(2)理解运算对象、掌握运算法则、选择运算方法、求得运算结果是数学

6、运算核心素养的具体体现.1.化简的值为()A.2 B.4 C.6 D.8考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化答案B2.下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A.(x0) B.(y0) D.(x0)考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化答案C3.式子(a0)经过计算可得到()A.a B. C. D.答案D4.计算1_.答案01.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质.2.指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.