§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学案（含答案）

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1、6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用.知识点一同类函数增长特点当a1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快.当a1时，对数函数ylogax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快.当x0，n0时，幂函数yxn是增函数，并且当x1时，n越大其函数值的增长就越快.知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异一般地，在区间(0，)上，尽管指数函数yax(a1)、幂函数yxn(n0)与对数函数ylogax(a1)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同

2、一个档次上.随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数yxn(n0)的增长速度，而对数函数ylogax(a1)的增长速度越来越慢，因此总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxn1，n0).1.先有实际问题，后有模型.()2.一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测.()3.增长速度越来越快的一定是指数函数模型.()4.由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意xR恒有axx2(a1).()题型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f(x)2x和g(x)x3的图像如图所示.设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(

3、2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x16x2.从图像上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，f(2 019)g(2 019).又g(2 019)g(6)，f(2 019)g(2 019)g(6)f(6).反思感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时，函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化，图像越陡，增长越快.跟踪训练1函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图像如图所示.(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较.考点题点解(1)C

4、1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当0xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x).题型二函数增长模型的应用例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？考点题点解设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y40(xN)进行描述；方案二可以用函数y10x(xN)进行描述；方案三可以用函数y0.42x1(xN)

5、进行描述.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.画出三个函数的图像，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多

6、，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累计的回报数.列表如下：天数回报/元方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三.反思感悟直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增长趋势，其增长速度不变(恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度

7、急剧(越来越快)；对数增长反映了对数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度平缓(越来越慢).解题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律.跟踪训练2某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？考点题点解作出函数y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图像(如图).观察图像发现

8、，在区间10,1 000上，模型y0.25x，y1.002x的图像都有一部分在直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图像始终在y5和y0.25x的下方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖励时才符合公司的要求.1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是()A.y3x B.ylog3xC.yx3 D.y3x考点题点答案D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.2.当a1时，有下列结论：指数函数yax，当a越大时，其函数值的增长越快；指数函数yax，当a越小时，其函数值的增长越快；对数函数ylogax，当a越大时，其函数值的增长越快；对数函数ylogax，当a越小时，其函数值的增长

9、越快.其中正确的结论是()A. B. C. D.考点题点答案B3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图像大致是()考点题点答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意得，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图像大致为D中图像.4.当2x0，q1)；f(x)logpxq(p0，p1)；f(x)x2pxq.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为_(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)10，f(3)2，则f(x)_.考点题点答案x28x17三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.(3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快.