§4 二次函数性质的再研究 学案（含答案）

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1、4二次函数性质的再研究学习目标1.掌握配方法，理解a，b，c(或a，h，k)对二次函数图像的作用.2.理解由yx2到ya(xh)2k的图像变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4.掌握二次函数的性质.知识点一二次函数的配方法对于一般的二次函数yax2bxc(a0)，可类似地配方为ya2，由此可得二次函数的值域、顶点等性质，yx2与yax2bxc图像间的关系以及二次方程求根公式等.所以配方法是非常重要的数学方法.知识点二图像变换由yx2的图像各点纵坐标变为原来的a倍，左移个单位长度，上移个单位长度，可得ya2的图像，即yax2bxc的图像.知识点三二次函数的三种形式(1)二

2、次函数的一般式yax2bxc(a0).(2)如果已知二次函数的顶点坐标为(h，k)，则可将二次函数设为ya(xh)2k.(3)如果已知方程ax2bxc0的两根x1，x2(即抛物线与x轴交点横坐标)，可设为ya(xx1)(xx2).知识点四二次函数的性质函数二次函数yax2bxca2(a，b，c是常数，且a0)图像a0a0性质开口向上向下对称轴方程xx顶点坐标单调性在区间上是减函数，在区间上是增函数在区间上是增函数，在区间上是减函数最值当x时，y有最小值，ymin当x时，y有最大值，ymax1.若函数f(x)(a1)xb在R上为增函数，则a1，bR.()2.若函数yx2的图像向上平移1个单位长度

3、，则所得图像对应的函数解析式为y(x1)2.()3.二次函数yx2与y3x2的图像的形状相同.()题型一二次函数解析式的求解例1已知二次函数yax2bxc(a0)的图像与x轴相交于点A(3,0)，对称轴为x1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式.考点二次函数解析式求法题点一般式求法解方法一代入A(3,0)，有9a3bc0，由对称轴为x1，得1，顶点M到x轴的距离为|abc0|2，联立解得或所以此函数的解析式为yx2x或yx2x.考点二次函数解析式求法题点顶点式求法方法二因为二次函数图像的对称轴是x1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(1,2)或(1，2)，故可得二次函数的解析式

4、为ya(x1)22或ya(x1)22.因为图像过点A(3,0)，所以0a(31)22或0a(31)22，解得a或a.故所求二次函数的解析式为y(x1)22x2x或y(x1)22x2x.考点二次函数解析式的求法题点两根式求法方法三因为二次函数图像的对称轴为x1，又图像过点A(3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A(1,0)也在图像上，所以可得二次函数的解析式为ya(x3)(x1).由题意得顶点坐标为(1,2)或(1，2)，分别代入上式，解得a或a.故所求二次函数的解析式为y(x3)(x1)x2x或y(x3)(x1)x2x.反思感悟求二次函数解析式的步骤跟踪训练1(1)yax26x8与直线y3x交

5、于点A(1，m)，求a.考点二次函数解析式的求法题点一般式求法解把A(1，m)代入y3x，得m3，把(1，3)代入yax26x8，得a683，即a1.(2)已知函数f(x)x2bxc，若f(4)f(0)，f(2)2，求f(x).考点二次函数解析式求法题点顶点式求法解方法一由f(4)f(0)，知f(x)的对称轴为x2，又f(2)2，顶点坐标为(2，2)，f(x)(x2)22x24x2.考点二次函数解析式的求法题点两根式求法方法二由f(4)f(0)，可设f(x)x(x4)c.代入x2，得2(24)c2，c2.f(x)x24x2.题型二二次函数的图像及变换例2由函数yx2的图像如何得到f(x)x22

6、x3的图像.考点二次函数图像题点二次函数图像变换解f(x)x22x3(x22x)3(x22x11)3(x1)24，由yx2的图像与yx2的图像关于x轴对称，可得yx2的图像.由yx2的图像向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度，可得y(x1)24，即yx22x3的图像.延伸探究利用f(x)x22x3的图像比较f(1)，f(2)的大小.解f(x)图像如图.由图知越接近对称轴，函数值越大.由|11|2|21|1，即f(2)比f(1)更接近对称轴，f(2)f(1).反思感悟处理二次函数yax2bxc(a0)的图像问题，主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a，b

7、，c之间的关系.在图像变换中，记住“h正左移，h负右移，k正上移，k负下移”.跟踪训练2将二次函数f(x)x2bxc的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数f(x)x22x1的图像，则b_，c_.考点二次函数图像题点二次函数图像变换答案66解析f(x)x22x1(x1)2，其图像顶点为(1,0).将二次函数f(x)x22x1的图像向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3，3)，得到的抛物线为y(x3)23，即f(x)x2bxc，(x3)23x2bxc，即x26x6x2bxc，b6，c6.题型三二次函数的性质例3已知函数f(x)x23x：(1)求函

8、数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值；(2)若x1,4，求函数值域.考点二次函数性质题点由解析式研究二次函数性质解(1)对函数右端的表达式配方，得f(x)(x3)2，所以函数图像的顶点坐标为，对称轴方程为x3，最小值为，无最大值.(2)由于31,4，所以函数在区间1,3上是减函数，在区间3,4上是增函数，所以当x3时，ymin，当x1时，ymax4，所以函数的值域为.反思感悟解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决.跟踪训练3已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值.考点二次函数性质题点由性质求参数范围解f(x)a(x1)21a

9、.当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去；当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上，a的值为3或.1.二次函数f(x)ax2bxc(a0)与g(x)bx2axc(b0)的图像可能是下图中的()考点二次函数图像题点图像与a，b，c的关系答案D解析由于f(x)，g(x)的图像的对称轴方程分别是x，x，则与同号，即f(x)，g(x)的图像的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；由C，D中给出的图像，可判定f(x)，g(x)的图像的开口方向相反，故ab0，0，即f(x)，g(x)的图像的对称轴都位于y轴右侧，排除C，故选D.2.设二次函数yf(x)满足f(4x)f(4x)，又f(x)在4，)上是减函数，且f(a)f(0)，则实数a的取值范围是()A.a4 B.0a8C.a0 D.acf(1) B.f(1)cf(1)f(1) D.cf(1)f(1)考点二次函数性质题点二次函数的单调性答案B解析因为f(1)f(3)，所以f(x)图像的对称轴为x1，因此函数在区间(，1上是减函数，又cf(0)，所以f(1)c0)；(4)yf(x)yf(x)；(5)yf(x)yf(x).