2020年湘教新版九年级上册数学《第3章图形的相似》单元测试卷（解析版）

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1、2020年湘教新版九年级上册数学第3章 图形的相似单元测试卷一选择题（共10小题）1已知5x6y（y0），那么下列比例式中正确的是（）ABCD2已知线段a、b、c、d满足abcd，把它改写成比例式，错误的是（）Aa：dc：bBa：bc：dCd：ab：cDa：cd：b3已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（ACBC），则下列结论正确的是（）AAB2ACBCBBC2ACBCCACBCDBCAC4如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，若AD：DB3：2，则AE：AC等于（）A3：2B3：1C2：3D3：55下列图形中不一定是相似图形的是（）A两个等边三角形B两个等

2、腰直角三角形C两个长方形D两个正方形6若ABCDEF，ABC与DEF的面积之比为4：25，则ABC与DEF周长之比为（）A4：25B2：5C5：2D25：47如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC相似的是（）ABCD8如图，在ABC中，已知ADEB，则下列等式成立的是（）ABCD9如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC3.2m，CA0.8m，则树的高度为（）A4.8 mB6.4 mC8 mD10 m10下列说法错误的是（）A任意两个直角三角形一定相似B任意两个正方形一定

3、相似C位似图形一定是相似图形D位似图形每一组对应点到位似中心的距离之比都等于位似比二填空题（共8小题）11若，则 12在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB3cm，则A、B两地的实际距离为 km13已知点P是线段AB的黄金分割点，且APBP，AB4，那么AP 14已知：AM：MD4：1，BD：DC2：3，则AE：EC 15若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的 倍16若两个相似三角形的周长之比为2：3，则他们的面积之比为 17如图，在ABC中，D为AB边上的一点，要使ABCAED成立，还需要添加一个条件为 18如图，ABC中，ABAC，BD和

4、CE是两条高，如果A45，则 三解答题（共8小题）19已知：（x、y、z均不为零），求的值20如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA50m，CB60m，ACB145，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离21三角形中，顶角等于36的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在ABC中，已知：ABAC，且A36（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在A1B1C1中，已

5、知A1B1A1C1，A1108，且A1B1AB，请直接写出的值22阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题角平分线分线段成比例定理，如图1，在ABC中，AD平分BAC，则下面是这个定理的部分证明过程证明：如图2，过C作CEDA交BA的延长线于E任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知RtABC中，AB3，BC4，ABC90，AD平分BAC，则ABD的周长是 23我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形现给出下列4对几何图形：两个圆；

6、两个菱形；两个长方形；两个正六边形请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由24已知：ABBC于B，CDBC于C，AB4，CD6，BC14，点P在BC上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与ABP相似时，求PB的长？25如图，在ABC中，C90，BC16cm，AC12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，CPQ与CBA相似？26如图，在平行四边形ABCD中，AE：BE1：2（1）求AEF与CDF的周长之比；（2）若SAEF6cm2，求SCDF2020年湘教新版

7、九年级上册数学第3章 图形的相似单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1已知5x6y（y0），那么下列比例式中正确的是（）ABCD【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案【解答】解：A、，则5y6x，故此选项错误；B、，则5x6y，故此选项正确；C、，则5y6x，故此选项错误；D、，则xy30，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积2已知线段a、b、c、d满足abcd，把它改写成比例式，错误的是（）Aa：dc：bBa：bc：dCd

8、：ab：cDa：cd：b【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积对选项一一分析，选出正确答案【解答】解：A、a：dc：babcd，故正确；B、a：bc：dadbc，故错误；C、d：ab：cdcab，故正确；D、a：cd：babcd，故正确故选：B【点评】掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换3已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（ACBC），则下列结论正确的是（）AAB2ACBCBBC2ACBCCACBCDBCAC【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项【解答】解：点C是线段AB的黄金分割点且ACBC，即AC2BCAB，故A、B错误；

9、ACAB，故C错误；BCAC，故D正确；故选：D【点评】本题主要考查黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键4如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，若AD：DB3：2，则AE：AC等于（）A3：2B3：1C2：3D3：5【分析】由DECB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系【解答】解：DEBC，AD：DB3：2，AE：EC3：2，AE：AC3：5故选：D【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据已知得出AE与EC的关系是解题关键5下列图形中不一定是相似图形的是（）A两个等边三角形B两个等腰直角三角形C两个长方形D两个正方形【分析】根据相似

10、图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误；B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故本选项错误；C、两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项正确；D、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误故选：C【点评】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑6若ABCDEF，ABC与DEF的面积之比为4：25，则ABC与DEF周长之比为（）A4：25B2：5C5：2D25：4【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先

11、求出ABC与DEF的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可【解答】解：相似三角形ABC与DEF面积的比为4：25，它们的相似比为2：5，ABC与DEF的周长比为2：5故选：B【点评】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键7如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC相似的是（）ABCD【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可【解答】解：根据题意得：AB，AC2，BC，BC：AC：AB1：，A、三边之比为1：，图中的三角形（阴影部分）与

12、ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似；C、三边之比为1：2，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似；D、三边之比为2：，图中的三角形（阴影部分）与ABC不相似故选：A【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键8如图，在ABC中，已知ADEB，则下列等式成立的是（）ABCD【分析】首先证明AEDACB，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案【解答】解：AA，ADEB，AEDACB，故选：A【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角形的性质9如图，身高1.6m的某学生想测量一棵

13、大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC3.2m，CA0.8m，则树的高度为（）A4.8 mB6.4 mC8 mD10 m【分析】可由平行线分线段成比例求解线段的长度【解答】解：由题意可得，即树高8m，故选：C【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键10下列说法错误的是（）A任意两个直角三角形一定相似B任意两个正方形一定相似C位似图形一定是相似图形D位似图形每一组对应点到位似中心的距离之比都等于位似比【分析】根据相似图形的判定定理与相似三角形的判定定理，位似图形的性质，即可求得答案，注意举反例与排

14、除法的应用【解答】解：A、任意两个直角三角形不一定相似，如等腰直角三角形与一般的直角三角形不相似，故本选项错误；B、任意两个正方形一定相似，故本选项正确；C、位似图形一定是相似图形，故本选项正确；D、位似图形每一组对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，故本选项正确故选：A【点评】此题考查了相似图形的判定定理，相似三角形的判定定理，位似图形的性质此题比较简单，解此题的关键是熟记判定与性质定理二填空题（共8小题）11若，则【分析】根据合比定理如果a：bc：d，那么（a+b）：b（c+d）：d （b、d0）解答即可【解答】解：，即故答案为：【点评】本题主要考查了合比定理：在一个比例里，第一个比的前

15、后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理12在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB3cm，则A、B两地的实际距离为1.5km【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离【解答】解：比例尺为1：50000，量得两地的距离是3厘米，A、B两地的实际距离150000cm1.5km故答案为：1.5【点评】此题考查了比例尺的性质注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一13已知点P是线段AB的黄金分割点，且APBP，AB4，那么AP22【分析】根据黄金分割点的定义，

16、知AP是较长线段；则APAB，代入数据即可得出AP的长【解答】解：由于P为线段AB4的黄金分割点，且AP是较长线段；则APAB422故答案为22【点评】本题考查了黄金分割的概念应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的14已知：AM：MD4：1，BD：DC2：3，则AE：EC8：5【分析】过点D作DFBE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论【解答】解：过点D作DFBE交AC于F，DFBE，AMEADF，AM：MDAE：EF4：18：2DFBE，CDFCBE，BD：DCEF：FC2：3AE：ECAE：（EF+FC）8：（2+3）AE：EC8

17、：5【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量EF即可得出结论15若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的5倍【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解【解答】解：一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，扩大后的三角形与原三角形相似，相似三角形的周长的比等于相似比，这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为：5【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比16若两个相似三角形的周长之比为2：3，则他们的面积之比为4：9【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根

18、据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可【解答】解：两个相似三角形的周长比为，这两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积比是4：9故答案为：4：9【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键17如图，在ABC中，D为AB边上的一点，要使ABCAED成立，还需要添加一个条件为ADEC 或AEDB或【分析】根据相似三角形对应角相等，可得ABCAED，故添加条件ABCAED即可求得ABCAED，即可解题【解答】解：ABCAED，AA，ABCAED，故添加条件ABCAED即可求得ABCAED同理可得：ADEC 或AEDB或可以得出ABCAED；故答案为：ADEC 或AEDB

19、或【点评】此题考查了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形的证明，添加条件ABCAED并求证ABCAED是解题的关键18如图，ABC中，ABAC，BD和CE是两条高，如果A45，则【分析】先根据ABAC，BD和CE是两条高，A45，求得ADAE，BECD，利用，得出DEBC，推出AEDABC，从而知道，sinABDsin45，即可解题【解答】解：ABAC，BD和CE是两条高，A45AECABD，ADAE，BECD，DEBC，AEDABC，ABAC，sinABDsin45【点评】此题考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、平行线段的判定等知识点的理解和掌握，解题时注意ED：BC

20、正好是sin45的函数值三解答题（共8小题）19已知：（x、y、z均不为零），求的值【分析】先设k（k0），然后用k表示x、y、z；最后将x、y、z代入消去k，从而求解【解答】解：设k，则x6k，y4k，z3k3【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单20如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA50m，CB60m，ACB145，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离【分析】根据比例尺的定义，1厘米代表10米，把CA50m，CB60m，转化为CA5cm，CB6cm，结合题意画图，再测量AB的长，最后换算出A

21、、B间的实际距离【解答】解：如图，测得AB长约10.5cm，换算成实际距离约为10.5100010500cm105m即A、B间的实际距离是105m【点评】本题考查了比例问题以及两点之间的距离是连接两点的线段的长度21三角形中，顶角等于36的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在ABC中，已知：ABAC，且A36（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在A1B1C1中，已知A1B1A1C1，A1108，且A1B1AB，请直接写出的值【分析】（

22、1）可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图；（2）求得各个角的度数，根据题意进行判断；（3）通过证明BDCABC，根据相似三角形的性质求解即可；（4）由黄金三角形的性质可知的值【解答】解：（1）如图所示；（2）BCD是黄金三角形证明如下：点D在AB的垂直平分线上，ADBD，ABDAA36，ABAC，ABCC72，ABDDBC36又BDCA+ABD72，BDCC，BDBC，BCD是黄金三角形（3）设BCx，ACy，由（2）知，ADBDBCxDBCA，CC，BDCABC，即，整理，得x2+xyy20，解得因为x、y均为正数，所以（4）理由：延长BC到E，使CEAC，连接AEA36，ABAC，

23、ACBB72，ACE18072108，ACEB1A1C1A1B1AB，ACCEA1B1A1C1，ACEB1A1C1，AEB1C1由（3）知，【点评】此题考查的知识综合性较强，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算22阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题角平分线分线段成比例定理，如图1，在ABC中，AD平分BAC，则下面是这个定理的部分证明过程证明：如图2，过C作CEDA交BA的延长线于E任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知RtABC中，AB3，BC4，ABC90，AD平分BAC，则ABD的周长是【分析

24、】（1）如图2，过C作CEDA交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得2ACE，1E，由12得ACEE，所以AEAC，于是有；（2）先利用勾股定理计算出AC5，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出BD，然后利用勾股定理计算出AD，从而可得到ABD的周长【解答】（1）证明：如图2，过C作CEDA交BA的延长线于E，CEAD，2ACE，1E，12，ACEE，AEAC，；（2）解：如图3，AB3，BC4，ABC90，AC5，AD平分BAC，即，BDBC，AD，ABD的周长+3+故答案为【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比

25、例23我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形现给出下列4对几何图形：两个圆；两个菱形；两个长方形；两个正六边形请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由【分析】根据相似图形的定义，对题目条件进行一一分析，作出正确回答【解答】解：两个圆，它们的所有对应元素都成比例，是相似图形；两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形；两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；两个正六边形，它们的边长、对应角等

26、所有元素都对应成比例，是相似图形是相似图形，不一定是相似图形【点评】本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同24已知：ABBC于B，CDBC于C，AB4，CD6，BC14，点P在BC上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与ABP相似时，求PB的长？【分析】分ABPPCD和ABPDCP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解答】解：（1）当ABPPCD时，则，解得BP2或BP12；（2）当ABPDCP时，则，解得BP5.6综合以上可知，当BP的值为2，12或5.6时，两三角形相似【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键，注

27、意分情况讨论思想的运用25如图，在ABC中，C90，BC16cm，AC12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，CPQ与CBA相似？【分析】分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解【解答】解：CP和CB是对应边时，CPQCBA，所以，即，解得t4.8；CP和CA是对应边时，CPQCAB，所以，即，解得t综上所述，当t4.8秒或秒时，CPQ与CBA相似【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分

28、情况讨论26如图，在平行四边形ABCD中，AE：BE1：2（1）求AEF与CDF的周长之比；（2）若SAEF6cm2，求SCDF【分析】根据ABCD是平行四边形，推出AEFCDF，利用所以AEF与CDF周长的比等于相似比即可求得利用AEF与CDF周长的比等于相似比等于1：3由相似三角形面积比是相似比的平方，即可求得答案【解答】解：由AE：EB1：2得，又ABCD是平行四边形，AEFCDF，由ABCD得，所以AEF与CDF周长的比等于相似比等于1：3由（相似三角形面积比是相似比的平方）由SAEF6cm2解得SCDF54cm2【点评】此题考查学生对相似三角形的判定与性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识点的理解与掌握此题主要利用了相似三角形周长比等于相似比和相似三角形面积比是相似比的平方