北京市教育学院附中2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷含解析

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1、2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一选择题（共10小题）1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD2二次函数y（x5）2+7的最小值是（）A7B7C5D53如图，AB、CD是O的两条弦，连结AD、BC若BCD70，则BAD的度数为（）A40B50C60D704如图，在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD于M，AB8，OC5，则MD的长为（）A4B2CD15下列说法正确的是（）A长度相等的两条弧是等弧B平分弦的直径垂直于弦C直径是同一个圆中最长的弦D过三点能确定一个圆6把抛物线yx2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）Ay（x+3）21By（x+

2、3）2+3Cy（x3）21Dy（x3）2+37已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c08如图，圆弧形桥拱的跨度AB12米，拱高CD4米，则拱桥的半径为（）A6.5米B9米C13米D15米9若二次函数yax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Aa0Bab+c0C不等式ax2+bx+c0的解集是1x5D当x2时，y随x的增大而增大10如图，ABC中，B60，ACB75，点D是BC边上一动点，以AD为直径作O，分别交AB、AC于E、F，若弦EF的最小值为1，则AB的长为（）ABC1.

3、5D二填空题（共6小题）11点P（2，y1）和点Q（1，y2）分别为抛物线yx24x+3上的两点，则y1 y2 （用“”或“”填空）12由8时15分到8时40分，时钟的分针旋转的角度为 13如图，将ABC绕点A顺时针旋转60得到AED，若线段AB3，则BE 14如图，AB、AC是O的两条弦，A30，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则D 15二次函数yax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m0有实数根，则m的最大值为 16已知二次函数yax2+bx+c中，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：x01234y41014点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则

4、当1x12，3x24时，y1与y2的大小关系是 三解答题（共12小题）17ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（1，2），B（1，1），C（3，1），将ABC绕原点O顺时针旋转90后得到ABC，画出ABC，并求点A旋转到点A所经过的路线长为 18已知抛物线的顶点为（1，3），与y轴的交点为（0，5），求抛物线的解析式19如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，OAB30（1）求APB的度数；（2）当OA3时，求AP的长20一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复原，如图所示，请你帮助文物学家作出此文物轮廓圆心O的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，

5、不写作法）21如图，四边形ABCD中，BADC90，ABAD，AEBC于E，若线段AE5，BE2，则S四边形ABCD的面积为多少？22已知二次函数的解析式是yx22x3（1）与x轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；xy（3）结合图象回答：当2x2时，函数值y的取值范围是 23如图，AB是O的直径，BC是弦，B30，延长BA到D，使BDC30（1）求证：DC是O的切线；（2）若AB2，求DC的长24已知抛物线yx2（2m1）x+m2m（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线yx3m+3的一个交点在y轴上，求m的值25某工厂设计了一款

6、产品，成本为每件20元投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y2x+80 （20x40），设销售这种产品每天的利润为W（元）（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？26有这样一个问题：探究函数yx2+的图象与性质小东根据学习函数的经验，对函数yx2+的图象与性质进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数yx2+的自变量x的取值范围是 ；（2）下表是y与x的几组对应值 x321 1 2 3 y m求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中

7、，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 27以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是O的切线，连接OQ求QOP的大小；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被O截得的弦长2

8、8对于二次函数yx23x+2和一次函数y2x+4，把yt（x23x+2）+（1t）（2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t2时，抛物线yt（x23x+2）+（1t）（2x+4）的顶点坐标为 ；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为 【应用】二次函数y3x2+5x+2是二次函数yx23x+2和一次函数y2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由

9、 参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D正确故选：D2二次函数y（x5）2+7的最小值是（）A7B7C5D5【分析】根据二次函数的性质求解【解答】解：y（x5）2+7当x5时，y有最小值7故选：B3如图，AB、CD是O的两条弦，连结AD、BC若BCD70，则BAD的度数为（）A40B50C60D

10、70【分析】直接根据圆周角定理求解【解答】解：BCD70，BADBCD70故选：D4如图，在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD于M，AB8，OC5，则MD的长为（）A4B2CD1【分析】连接OA，利用垂径定理可求出AM的长，再由勾股定理即可求出OM的长，进而可求出MD的长【解答】解：连接OA，CD是直径，AB是弦，ABCD于M，AB8，AMBM4，OC5，OAOD5，OM3DMODOM532故选：B5下列说法正确的是（）A长度相等的两条弧是等弧B平分弦的直径垂直于弦C直径是同一个圆中最长的弦D过三点能确定一个圆【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不

11、正确选项，从而得出正确选项（1）等弧指的是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧长度相等的两条弧，不一定能够完全重合；（2）此弦不能是直径；（3）相等的圆心角所对的弦相等指的是在同圆或等圆中【解答】解：A、长度相等的两条弧是等弧，错误B、平分弦的直径垂直于弦，此命题错误；B、直径是同一个圆中最长的弦，命题正确；C、过三点能确定一个圆，此命题错误；故选：C6把抛物线yx2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）Ay（x+3）21By（x+3）2+3Cy（x3）21Dy（x3）2+3【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式【解答

12、】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），平移后抛物线的顶点为（3，1），新抛物线解析式为y（x3）21，故选：C7已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0【分析】由于开口向下可以判断a0，由与y轴交于正半轴得到c0，又由于对称轴x0，可以得到b0，所以可以找到结果【解答】解：根据二次函数图象的性质，开口向下，a0，与y轴交于正半轴，c0，又对称轴x0，b0，所以A正确故选：A8如图，圆弧形桥拱的跨度AB12米，拱高CD4米，则拱桥的半径为（）A6.5米B9米C13米D15米【分析】根据垂径定理的

13、推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O连接OA根据垂径定理和勾股定理求解【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O连接OA根据垂径定理，得AD6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r236+（r4）2，解得r6.5故选：A9若二次函数yax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Aa0Bab+c0C不等式ax2+bx+c0的解集是1x5D当x2时，y随x的增大而增大【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c0的解集【解答】解：A、图象开口方向向下，则a0，故此

14、选项错误；B、当x1，ab+c0，故此选项错误；C、图象对称轴为直线x2，则图象与x轴另一交点坐标为：（1，0），不等式ax2+bx+c0的解集是1x5，故此选项正确；D、当x2时，y随x的增大而减小，故此选项错误故选：C10如图，ABC中，B60，ACB75，点D是BC边上一动点，以AD为直径作O，分别交AB、AC于E、F，若弦EF的最小值为1，则AB的长为（）ABC1.5D【分析】首先连接OE，OF，过O点作OHEF，垂足为H，可求得半径OE的长，又由当AD为ABC的边BC上的高时，AD最大时为直径，OE最大，OH最大，EF最小，可求得AD的长，由三角函数的性质，即可求得AB的长【解答】解

15、：如图，连接OE，OF，过O点作OHEF，垂足为H，EHFHEF1，在ADB中，B60，ACB75，BAC45，EOF2BAC90，OEOF，EOHEOF45，OE，当AD为ABC的边BC上的高时，AD最大时为直径，OE最大，OH最大，EF最小，AD2OE，AB故选：B二填空题（共6小题）11点P（2，y1）和点Q（1，y2）分别为抛物线yx24x+3上的两点，则y1y2 （用“”或“”填空）【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x2，再根据二次函数的增减性，x2时，y随x的增大而减小解答【解答】解：yx24x+3（x2）21，二次函数图象的对称轴为直线x2，212，y1y2故答案为：12

16、由8时15分到8时40分，时钟的分针旋转的角度为150【分析】根据分针60分钟旋转360，可得分针旋转的速度，根据分针旋转的速度乘以分针旋转的时间，可得答案【解答】解；由分针60分钟旋转360，得分针1分钟旋转360606，分针旋转了401525分钟，8时15分到8时40分，时钟的分针旋转的角度为625150，故答案为：15013如图，将ABC绕点A顺时针旋转60得到AED，若线段AB3，则BE3【分析】根据旋转的性质得出BAE60，ABAE，得出BAE是等边三角形，进而得出BE3即可【解答】解：将ABC绕点A顺时针旋转60得到AED，BAE60，ABAE，BAE是等边三角形，BE3故答案为：

17、314如图，AB、AC是O的两条弦，A30，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则D30【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得OCD90，再根据圆周角定理得到BOC2A60，然后利用互余计算D的度数【解答】解：连接OC，如图，CD为切线，OCCD，OCD90，BOC2A60，D90COD30故答案为3015二次函数yax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m0有实数根，则m的最大值为3【分析】先根据抛物线的开口向上可知a0，由顶点纵坐标为3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可【解答】方法一解：抛物线的开口向上，顶点

18、纵坐标为3，a03，即b212a，一元二次方程ax2+bx+m0有实数根，b24am0，即12a4am0，即124m0，解得m3，m的最大值为3，方法二：解：一元二次方程ax2+bx+m0有实数根，则二次函数yax2+bx的图象与直线ym有交点，由图象得，m3，解得m3，m的最大值为3，故答案为316已知二次函数yax2+bx+c中，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：x01234y41014点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1x12，3x24时，y1与y2的大小关系是y1y2【分析】先设该二次函数的解析式为yax2+bx+c（a0），把x0时y4；x1时y1；

19、x2时y0代入函数解析式，求出a、b、c的值，进而得出抛物线的解析式，再根据抛物线的对称轴方程求出其对称轴，根据二次函数的增减性即可判断出y1与y2的大小关系【解答】解：设该二次函数的解析式为yax2+bx+c（a0），x0时y4；x1时y1；x2时y0，解得，此抛物线的解析式为：yx24x+4，抛物线开口向上，对称轴x2，可知抛物线顶点为（2，0），1x12，3x24，y1y2故答案为：y1y2三解答题（共12小题）17ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（1，2），B（1，1），C（3，1），将ABC绕原点O顺时针旋转90后得到ABC，画出ABC，并求点A旋转到点A所经过的路线长

20、为【分析】利用旋转的性质得出对应点位置，然后利用弧长公式进行计算即可得到点A旋转到点A所经过的路线长【解答】解：如图所示：ABC即为所求；点A旋转到点A所经过的路线长：故答案为：18已知抛物线的顶点为（1，3），与y轴的交点为（0，5），求抛物线的解析式【分析】根据题意设出抛物线的顶点形式，将（0，5）代入即可确定出解析式【解答】解：根据题意设ya（x+1）23，将（0，5）代入得：a35，解得：a2，则抛物线解析式为y2（x+1）232x24x5故抛物线的解析式为y2x24x519如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，OAB30（1）求APB的度数；（2）当OA3时，求AP的长【分析】（

21、1）根据四边形的内角和为360，根据切线的性质可知：OAPOBP90，求出AOB的度数，可将APB的度数求出；（2）作辅助线，连接OP，在RtOAP中，利用三角函数，可将AP的长求出【解答】解：（1）在ABO中，OAOB，OAB30，AOB180230120，PA、PB是O的切线，OAPA，OBPB，即OAPOBP90，在四边形OAPB中，APB360120909060（2）如图，连接OP；PA、PB是O的切线，PO平分APB，即APOAPB30，又在RtOAP中，OA3，APO30，AP20一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复原，如图所示，请你帮助文物学

22、家作出此文物轮廓圆心O的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】利用垂径定理可知，圆心O是AB的中垂线与直线CD的交点【解答】解：（1）答：点O即为所求作的点21如图，四边形ABCD中，BADC90，ABAD，AEBC于E，若线段AE5，BE2，则S四边形ABCD的面积为多少？【分析】作DFAE，则易证ABEDAF，根据BE、EA计算ABE和DAF的面积，根据矩形CDFE的面积和ABE和DAF的面积计算四边形ABCD的面积【解答】解：作DFAE于点F，如右图，DAE+BAE90，BAE+ABE90，BAEADF，在ABE和DAF中，则ABEDAF（AAS），AFBE2，DFECA

23、E5四边形ABCD的面积为ABE面积、DAF面积、矩形CDFE面积之和，S四边形ABCDBEEA+DFAF+CDEC5+5+5（52）25，答：四边形ABCD的面积为2522已知二次函数的解析式是yx22x3（1）与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），顶点坐标是（1，4）；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；xy（3）结合图象回答：当2x2时，函数值y的取值范围是当2x1时，4y5；当1x2时，4y3【分析】（1）根据抛物线yx22x3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中

24、的函数图象结合对称轴可以直接写出答案【解答】解：（1）令y0，则0x22x3解得x11，x23抛物线yx22x3与x轴交点的坐标为（1，0），（3，0）yx22x3（x1）x24，所以它的顶点坐标为（1，4）；（2）列表：x10123y03430图象如图所示：；（3）当2x1时，4y5；当1x2时，4y323如图，AB是O的直径，BC是弦，B30，延长BA到D，使BDC30（1）求证：DC是O的切线；（2）若AB2，求DC的长【分析】（1）根据切线的判定方法，只需证CDOC所以连接OC，证OCD90（2）易求半径OC的长在RtOCD中，运用三角函数求CD【解答】（1）证明：连接OCOBOC，B

25、30，OCBB30CODB+OCB60 BDC30，BDC+COD90，DCOC BC是弦，点C在O上，DC是O的切线，点C是O的切点 （2）AB2，OCOB1 在RtCOD中，OCD90，D30，DCOC24已知抛物线yx2（2m1）x+m2m（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线yx3m+3的一个交点在y轴上，求m的值【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即0即可；（2）根据题意，令x0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值【解答】（1）证明：令y0得：x2（2m1）x+m2m0，（2m1）24（m2m）1（4m24 m+1）

26、（4m24m）10，方程有两个不等的实数根，原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：令x0，根据题意有：m2m3m+3，解得m3或125某工厂设计了一款产品，成本为每件20元投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y2x+80 （20x40），设销售这种产品每天的利润为W（元）（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据“总利润单件的利润销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润【解答】解：（1）wy（x

27、20）（x20）（2x+80）2x2+120x1600（2）w2x2+120x16002（x30）2+200，则当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元26有这样一个问题：探究函数yx2+的图象与性质小东根据学习函数的经验，对函数yx2+的图象与性质进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数yx2+的自变量x的取值范围是x0；（2）下表是y与x的几组对应值 x321 1 2 3 y m求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是

28、（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）该函数没有最大值【分析】（1）由图表可知x0；（2）根据图表可知当x3时的函数值为m，把x3代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质【解答】解：（1）x0，（2）令x3，y32+；m；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值；该函数在x0处断开；该函数没有最小值；该函数图象没有经过第四象限故答案为该函数没有最大值27以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆

29、周按顺时针方向匀速运动若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是O的切线，连接OQ求QOP的大小；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被O截得的弦长【分析】（1）利用切线性质定理，以及OQ与OP之间的关系，可得出QOP的度数（2）关键是求出Q点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决【解答】解：（1）如图一，连接AQ由题意可知：OQOA1OP2，A为OP的中点PQ与O相切于点Q，OQP为直角三角形即OAQ为等边三角形QOP60（2）由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30

30、，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在O与y轴负半轴的交点处（如图二）设直线PQ与O的另外一个交点为D，过O作OCQD于点C，则C为QD的中点QOP90，OQ1，OP2，QP，OCOCQD，OQ1，OC，QCQD28对于二次函数yx23x+2和一次函数y2x+4，把yt（x23x+2）+（1t）（2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t2时，抛物线yt（x23x+2）+（1t）（2x+4）的顶点坐标为（1，2）；（2）判断点A是否在抛物线L上；

31、（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为（2，0）、（1，6）【应用】二次函数y3x2+5x+2是二次函数yx23x+2和一次函数y2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由【分析】【尝试】（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值【发现】将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出

32、这个定点的坐标【应用1】将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y3x2+5x+2中进行验证即可【解答】解：【尝试】（1）将t2代入抛物线l中，得：yt（x23x+2）+（1t）（2x+4）2x24x2（x1）22，此时抛物线的顶点坐标为：（1，2）（2）将x2代入yt（x23x+2）+（1t）（2x+4），得 y0，点A（2，0）在抛物线l上（3）将x1代入抛物线l的解析式中，得：nt（x23x+2）+（1t）（2x+4）6【发现】将抛物线E的解析式展开，得：yt（x23x+2）+（1t）（2x+4）t（x2）（x+1）2x+4抛物线l必过定点（2，0）、（1，6）【应用1】将x2代入y3x2+5x+2，y0，即点A在抛物线上将x1代入y3x2+5x+2，计算得：y66，即可得抛物线y3x2+5x+2不经过点B，二次函数y3x2+5x+2不是二次函数yx23x+2和一次函数y2x+4的一个“再生二次函数”