§4 数据的数字特征 学案板(含答案)
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1、4数据的数字特征学习目标1.会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差.2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计问题.知识点一众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数定义(1)众数:一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数:把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫作这组数据的中位数.(3)平均数:如果n个数x1,x2,xn,那么(x1x2xn)叫作这n个数的平均数.思考平均数、中位数、众数有何异同?答案(1)众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量.(2)平均数的大小与一组数据中每个数据均有关系
2、,任何一个数据的变化都会引起平均值的变动.(3)众数大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题.(4)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响,中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.知识点二极差、方差、标准差1.极差一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差.2.方差如果一组数据是x1,x2,x3,xn,这组数据的方差记为s2,则s2(x1)2(x2)2(xn)2.3.标准差(1)标准差的定义标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量,一般用s表示,
3、计算公式为s.(2)标准差的求法样本数据x1,x2,xn的标准差的算法()计算出样本数据的方差s2;()求出方差s2的算术平方根,即s.知识拓展:平均数、方差公式的推广(1)若数据x1,x2,xn的平均数为,那么mx1a,mx2a,mx3a,mxna的平均数是ma.(2)设数据x1,x2,xn的平均数为,方差为s2,则a.s2(xxx)n2;b.数据x1a,x2a,xna的方差也为s2;c.数据ax1,ax2,axn的方差为a2s2.1.在两组数据中,平均数较大的一组方差较大.()2.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均数的波动大小.()3.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方
4、后再求和.()4.一组数据的标准差不大于极差.()题型一数字特征的计算例1(1)在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是()A.众数 B.平均数C.中位数 D.标准差(2)某医院为了了解病人每分钟呼吸次数,对20名病人进行检测,记录结果如下:12,20,16,18,20,28,23,16,15,18,20,24,18,21,18,19,18,31,18,13.则这组数据的平均数为_,中位数为_,众数为_.答案(1)D(2)19.31818解析(1)当每
5、个样本数据都加上2后,众数、平均数、中位数都会发生变化,不变的是数据的波动情况,即标准差不变.(2)平均数19.3,中位数为18,众数为18.反思感悟(1)众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即为众数.(2)中位数的求法把数据按从小到大的顺序排列.找出排列后位于中间位置的数据,即为中位数.若中间位置有两个数据,则求出这两个数据的平均数作为中位数.(3)平均数的计算公式一组样本数据为x1,x2,xn,则样本平均数(x1x2xn).简记为i.(4)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.跟踪训练1对于数据3,3
6、,2,3,6,3,10,3,6,3,2,有下列结论:这组数据的众数是3;这组数据的众数与中位数的数值不相等;这组数据的中位数与平均数的数值相等;这组数据的平均数与众数的数值相等.其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析在这11个数中,数3出现了6次,频率最高,故众数是3;将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10,中间数据是3,故中位数是3;而平均数4.故只有正确.题型二标准差、方差的应用例2从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测它们的株高如下:(单位:cm)甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42;乙:27,1
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