§3 模拟方法——概率的应用 学案（含答案）

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1、3模拟方法概率的应用学习目标1.了解几何概型的定义及其特点.2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.3.会用模拟方法估计某些随机事件的概率和不规则图形的面积.知识点一几何概型的意义向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关.即P(点M落在G1)，则称这种模型为几何概型.几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比.思考(1) 几何概型与古典概型的区别与联系是什么？(2)在几何概型中，事件A的概率与构成事件A的区域的形状是否有关？答案(1)相同点：基本事件发生都是等可能的；不同点：古

2、典概型的基本事件个数是有限的，几何概型的基本事件个数是无限的.(2)无关.知识点二模拟方法模拟方法的本质是产生大量指定范围内的随机数来代替反复实验，以频率估计概率.模拟方法可以来估计某些随机事件发生的概率.1.在几何概型中，事件A的概率与构成事件A的大小和形状均有关系.()2.从几何概型看，不可能事件的概率为0，概率为0的事件是不可能事件.()3.几何概型与古典概型的区别主要是基本事件个数一个是无限的，一个是有限的.()4.随机模拟的方法的实质是以事件发生的频率估计概率.()题型一几何概型的概念例1下列关于几何概型的说法错误的是()A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B.几何

3、概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性答案A解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.反思感悟几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个.(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.跟踪训练1判断下列概率模型是古典概型还是几何概型.(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，

4、规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.解(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6636(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型.(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型.题型二几何概型的概率计算命题角度1与长度有关的几何概型例2取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率为多少？解如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件

5、A发生，因为中间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A).反思感悟在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.跟踪训练2(1)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B. C. D.(2)在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为_.答案(1)B(2)解析(1)如图，7：50

6、至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知，所求概率为P.故选B.(2)区间1,2的长度为3，由|x|1，得x1,1，而区间1,1的长度为2，x取每个值为随机的，在1,2上取一个数x，则|x|1的概率P.命题角度2与角度有关的几何概型例3如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_.答案解析因为在DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H

7、是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，则区域H为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为.反思感悟解与角度有关的几何概型问题的关键点(1)把题中所表示的几何模型转化为角度.(2)要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.跟踪训练3在RtABC中，A30，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则|AM|AC|的概率为_.答案解析设事件D为“作射线CM，使|AM|AC|”.在AB上取点C使|AC|AC|，因为ACC是等腰三角形，所以ACC75，事件D发生的区域D907515，构成事件总的区域90，所以P(D).命题角度3与面积有关的几何概型例4(1)如图，在矩形区域

8、ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A.1 B.1 C.2 D.答案A解析由题意知，将两个四分之一圆合在一起，其面积为12，矩形面积为2，则所求概率为1.(2)在区间2,2上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2y24的概率.解在区间2,2上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，区域是边长为4的正方形区域，其中满足x2y24的是图中阴影区域(如图所示)，S阴224，所以P.反思感悟解与面积有关的几何概型问题的关键点

9、(1)根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题.(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式求得概率.跟踪训练4一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.解如图所示，区域是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.由于区域的面积为3020600(m2)，阴影部分的面积为30202616184(m2).所以P(A)0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31.命题角度4与体积有关的几何概型

10、例5已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率.解如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.设ABC的面积为S，由ABCA1B1C1，且相似比为2，得A1B1C1的面积为.由题意，知区域D(三棱锥SABC)的体积为Sh，区域d(三棱台ABCA1B1C1)的体积为ShSh.所以点M到底面的距离小于的概率为P.反思感悟如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占

11、的区域体积及事件A所占的区域体积.其概率的计算公式为P(A).跟踪训练5在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A. B. C. D.答案D解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V11，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R，球的体积V23，则此点落在正方体内部的概率P.随机模拟方法的应用典例(1)从区间0,1上随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A. B. C. D.(2

12、)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为_.答案(1)C(2)解析(1)由题意得，(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，所以.(2)由几何概型的概率公式可得，又S正方形4，所以S阴影4.素养评析(1)解决此类问题时应注意两点：一是选取适当的对应图形，二是由几何概型的概率公式正确地计算概率.(2)明确这类问题的运算对象，采用随机模拟的运算方法，设计运算程序，求得运算结果，这些就是数学核心素养中的数学运算.1.面积为S的ABC，D是BC

13、的中点，向ABC内部投一点，那么点落在ABD内的概率为()A. B. C. D.答案B解析向ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型.设“点落在ABD内”为事件M，则P(M).2.在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|1的概率为()A. B. C. D.答案A解析问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，所以P.3.如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在xOT内的概率是()A. B. C. D.答案A解析在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在xOT内对应的角度为60，而整个角集合对应的角度为360

14、，该角终边落在xOT内的概率P，故选A.4.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_.答案解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知，所求概率P.5.在区间0,3上任取一个数，则此数不大于2的概率是_.答案解析此数不大于2的概率P.6.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，求此点到坐标原点的距离大于2的概率.解如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型.2.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A).3.随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大.用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验.