§1 算法的基本思想 学案（含答案）

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1、1算法的基本思想学习目标1.通过几个具体问题的求解过程，体会算法的基本思想.2.了解算法的含义和特征.3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法.知识点一算法的概念1.对算法概念的理解一般地，算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决.一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用计算机帮助完成的.同一个问题可能存在多种算法，一个算法也可以解决某一类问题.2.算法的作用现代算法的作用之一是使计算机能代替人完成某些工作，这是学习算法的重要原因之一.思考是不是任何一个算法都有明确结果？一个具体问题的算法唯一吗？答案任何算法都有明确的结果，因为算法的步骤是明确的和有限的，

2、有时可能需要大量重复的计算，但只要按照步骤去执行，总能得到确定的结果.解决一个具体的问题的算法可能有多个，但我们可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.知识点二算法的特征算法的特征主要有以下几点：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限的操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一问题的解

3、法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.思考设想一下电脑程序需要计算无限多步，会怎么样？答案若有无限步，必将陷入死循环，解决不了问题.故算法必须在有限步内解决问题.1.算法是解决一个问题的方法.()2.一个算法可以产生不确定的结果.()3.算法的步骤必须是明确的、有限的.()4.求解一类问题的算法是唯一的.()题型一对算法的概念的理解例1下列说法正确的是()A.算法就是某个问题的解题过程B.算法执行后可以产生不同的结果C.解决某一个具体问题算法不同，则结果不同D.算法执

4、行步骤的次数不可以很多，否则无法实施答案B解析选项B正确，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以为无限次.反思感悟算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想.跟踪训练1(1)下列描述不是解决问题的算法的是()A.从中山到北京先坐汽车，再坐火车B.解可化为一元一次方程的分式方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C.方程x24x30有两个不相等的实根D.解不等式ax30时，第

5、一步移项，第二步讨论答案C解析A选项，从中山到北京，先坐汽车，再坐火车，解决了怎样去的问题；B选项，解可化为一元一次方程的分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解决了怎样解一元一次方程的问题；D选项，解不等式ax30时，第一步移项，将不等式化为ax3，第二步讨论a的符号，进而根据不等式的基本性质，求出不等式的解集，解决了怎样求不等式解集的问题；选项C只是一个真命题，没有解决什么问题，因此不是算法.(2)给出以下叙述：过河要走桥；老师提问说不会；做米饭需刷锅、淘米、添水、加热这些步骤；学习要预习、听讲、质疑、练习巩固等步骤.其中能称为算法的是()A. B. C. D.答案

6、C解析不能称为算法，根据算法的含义知正确.题型二算法的设计命题角度1直接应用数学公式设计算法例2有一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法.解如图，先给r，l赋值，计算h，再根据圆锥体积公式Vr2h计算V，然后输出结果.1.令r3，l5.2.计算h.3.计算Vr2h.4.输出运算结果.反思感悟利用公式解决问题时，必须先求出公式中的各个量，在设计算法时，应优先考虑未知量的求法.跟踪训练2已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积.设计一个算法解决这个问题.解1.输入a的值.2.计算l的值.3.计算Sl2的值.4.输出S的值.命题角度2非数值性问题的算法例3所谓正整数p为素

7、数是指：p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n1)是否为素数的算法.解算法如下：1.给出任意一个正整数n(n1).2.若n2，则输出“2是素数”，判断结束.3.令m1.4.将m的值增加1，仍用m表示.5.如果mn，则输出“n是素数”，判断结束.6.判断m能否整除n，如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；如果不能整除，则转第四步.反思感悟设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤(1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法.(2)借助有关变量或参数对算法加以表述.

8、(3)将解决问题的过程划分为若干步骤.(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.跟踪训练3判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？解1.给定大于2的整数n.2.令i2.3.用n除以i，得到余数r.4.判断“r0”是否成立.若成立，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.5.判断“i(n1)”是否成立.若成立，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.解方程组的算法设计典例写出解方程组的一个算法.解方法一(代入消元法)1.由得y72x.2.将代入，得4x5(72x)11.3.解得x4.4.将x4代入，得y1.5.得到方程组的解为方法二(加减消元法)1.5得，(254)x75

9、11.2.解得x4.3.2，得(125)y7211.4.解得y1.5.得到方程组的解为素养评析(1)设计算法时，经常遇到解方程组的算法问题，一般是按照数学上解方程组的方法进行设计，但应注意全面考虑方程组解的情况，即先确定方程组是否有解，有解时有几个解，然后依据求解步骤设计算法步骤.(2)从对运算方法的选择，运算程序的设计，到最后求得运算结果，整个过程就是典型的数学运算素养的体现.1.下列关于算法的说法，正确的个数为()求解某一类问题的算法是唯一的；算法必须在有限步操作之后停止；算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；算法执行后一定产生确定的结果.A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析

10、由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点，所以正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，所以错误.2.下列叙述中，能称为算法的个数为()植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；按顺序进行下列运算：112,213,314，991100；从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州观看亚运会开幕式；3xx1；所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，.A.2 B.3C.4 D.5答案B解析是算法.3.已知一个算法：(1)给出三个数x，y，z；(2)计算Mxyz；(3)计算NM；(4)得出每次计算的结果.则上述算法是()A.求和 B.求余数C.求平均数 D.先求和再求平均数答案D解析由算法过程可知，M为三数

11、之和，N为这三数的平均数，故选D.4.已知直角三角形两条直角边长分别为a，b(ab).写出求最大锐角的余弦值的算法如下：(1)输入两直角边长a，b的值；(2)计算c的值；(3)_；(4)输出cos .将算法补充完整，横线处应填_.答案计算cos 5.已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：(1)计算c；(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值；(3)输出斜边长c的值.其中正确的顺序是_.答案(2)(1)(3)解析算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算.6.写出解二元一次方程组的算法.解1.2得7x1.2.解得x.3.32得7y5.4.解得y.5.得到方程组的解为算法是建立在解法基础上的操作过程，算法不一定要有运算结果，答案可以由计算机解决，算法没有一个固定的模式，但有以下几个基本要求：(1)符合运算规则，计算机能操作；(2)每个步骤都有一个明确的计算任务；(3)对重复操作步骤返回处理；(4)步骤个数尽可能少；(5)每个步骤的语言描述要准确、简明.