专题突破三 古典概型的求解技巧 学案（含答案）

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1、专题突破三古典概型的求解技巧一、利用对称性求概率在古典概型中，处于对称平等地位的事件发生的概率一般相同，应用这一结论可以巧妙地列举出基本事件，简化计算，从而收到事半功倍的效果例1 在线段AB上任取不同的3点x1，x2，x3.求x2位于x1，x3之间的概率思维切入分析基本事件的特征，问题其实是一个古典概型问题解设A1x1位于x2，x3之间，A2x2位于x1，x3之间，A3x3位于x1，x2之间，则事件A1，A2，A3处于对称平等的地位，其发生的可能性是相等的，且A1，A2，A3两两互斥故该试验可看成只有3个基本事件A1，A2，A3，所以所求概率P(A2).点评在线段AB上取点有无数种情况，但据此

2、题而言，只需考虑x1，x2，x3三者的位置关系，并由对称性顺利求解跟踪训练1临近毕业，各个班级都在合影留念，在高三(1)班合影时，摄影师随意安排A，B，C，D，E共5名同学站成一排，试求A在B的右边(A，B可以不相邻)的概率为_答案解析A在B的右边与B在A的右边对称二、转换角度求概率在解决古典概型问题时，应抓住事件的本质，从合适的角度入手，正确列举出基本事件例2 任取一个正整数，求该数的四次方的末位数字是1的概率思维切入任取一个正整数，有无数种情况，但它们的四次方的末位数只与正整数的末位数09有关，因此，只研究其末位数即可解不能把所有的正整数作为基本事件总体，因为这样得到的基本事件是无限的，不

3、满足古典概型所要求的“有限性”的条件由于正整数四次方的末位数是由这个数的末位数决定的，可能是0,1,2，9中的任意一个(等可能)，当该数的末位数是1,3,7,9时，其四次方的末位数均为1.所以，取基本事件为0,1,2，9.则所求事件A1,3,7,9，其概率P(A).点评通过该例，我们看到当问题应用常规的列举法无法解答时，应探求其本质，本题只是根据决定四次方的末位数为1的“末位数”来解答的当然这类题有其特殊性，但是从中可以发现选取合适的基本事件是非常重要的跟踪训练2有五名同学A，B，C，D，E需在最短时间内站成一排，则C恰好站在中间的概率为_答案解析只考虑中间位置三、利用互斥事件(或对立事件)求

4、概率有些古典概型问题，如果从正面考虑其基本事件比较多，可以分解为几个互斥事件进行求解，也可以从它的反面考虑，即借助对立事件来求例3 在大小、质点均相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意抽取3个球，至少有1个是红球的概率是多少？思维切入“至少有一个是红球”包括“2个白球，1个红球”、“1个白球，2个红球”，其对立事件为“3个白球”，故该事件可分解为两互斥事件的和，也可借助其对立事件来求解解记“抽取3个白球”为事件A.设白球标号为1,2,3,4，红球标号为5,6，从6个球中任取3个球，可能结果列举如下：123,124,125,126,134,135，136，145,146,156,23

5、4,235，236，245,246,256,345,346，356，456，共20种其中选取的3个球是白球的情形有123,124,134,234，共4种所以所选的3个球全为白球的概率P(A).因为事件“抽取的3个球全为白球”与事件“抽取的3个球中至少有1个是红球”互为对立事件，所以“抽取的3个球中至少有1个是红球”的概率P1P(A)1.点评“至少”“至多”型的概率问题可从正反两个方面考虑：正向思维是将所求事件的概率分解为一些简单的彼此互斥的事件的概率之和，分解时要不重复、不遗漏；逆向思维是将所求的概率转化为1与其对立事件的概率的差，即正难则反跟踪训练3(1)将一枚硬币连掷4次，则至少有1次正面

6、朝上的概率为_答案解析16个基本事件中只有一种4次正面全朝下，设A表示“至少有1次正面朝上”则P()，P(A)1.(2)同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率解设“至少有一个5点或6点”为事件A，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,

7、4)(6,5)(6,6)共有36种不同的结果设“至少有一个5点或6点”为事件A，“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点也没有6点”，记为.如上表，“既没有5点也没有6点”的结果共有16个，则“既没有5点也没有6点”的概率为P().所以“至少有一个5点或6点”的概率为P(A)1P()1.1从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3人参加数学竞赛，其中甲不被选中的概率为()A. B.C. D.答案A解析可以考虑从4人中选一个不参加竞赛，甲不参加竞赛的概率为.2从数字1,2,3中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是()A. B.C. D.答案D解析从数字1,2,3中任取两个不

8、同的数组成的两位数，共有6种不同结果，即12,13,21,23,31,32，其中大于21的两位数有3个用A表示事件“这个两位数大于21”，则由古典概型的概率公式可知P(A).3某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()A. B.C. D.答案C解析设a，b分别为甲、乙摸出球的编号由题意，摸球试验共有36种不同的结果，满足ab的基本事件共有6种所以摸出编号不同的概率P1.4一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，将这颗骰子连续

9、投掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次相邻的概率为()A. B.C. D.答案B解析试验所有可能的结果共有666216(个)，三次点数依次相邻的结果有8个：123,321,234,432,345,543,456,654，所以P.5从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是()A. B. C. D.答案D解析设3个元素为a，b，c，则所有子集共8个：，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，含2个元素的子集共3个，故所求概率为.6甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，则甲站在边上的概率为_答案解析只考虑位置，有4个位置，甲站每一个位置的可能性是

10、相等的，所以甲站在边上的概率为P.7甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是_答案解析记甲队胜为事件A，则P(A)1.8在集合A2,3中随机取一个元素m，在集合B1,2,3中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2y29内部的概率为_答案解析点P(m，n)的情况为(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2y29的内部，所求概率为.9现从5名优秀学生中随机抽取2人参加数学竞赛，问其中的甲、乙两人至多有一人去参加竞赛的概率是多少？解从5名优秀学生中随机抽取2人去参加竞赛，

11、共有10个基本事件设事件A为“甲、乙两人至多有一人去参加竞赛”，它的对立事件是“甲、乙两人都去参加竞赛”，而“甲、乙两人都去参加竞赛”的抽取方法只有1种，所以P()，故P(A)1P()，即甲、乙两人至多有一人去参加竞赛的概率是.10将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，求出现向上的点数之和小于10的概率解将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,6)，共36种情况设事件A“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况所以由古典概型的概率公式，得P()，所以P(A)1.