2018-2019学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2018-2019学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在ABC中，A30，B135，a3，则边b（）A5B4C3D22（5分）已知命题p：1x1，命题q；x2，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）已知数列an是等比数列，且a11，a48，则a6（）A15B24C32D644（5分）已知实数ab，则以下不等式中恒成立的是（）Aa3b3Ba2b2C（）a（）bD5（5分）将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左至

2、右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a222，则表中所有数之和为（）A2B18C20D5126（5分）已知x，则函数y4x+取最小值为（）A3B2C5D77（5分）函数f（x）+lnx的单调递减区间是（）A（，2）B（0，2）C（2，+）D（）8（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在C北偏东45，B在C南偏东15，则A，B之间的距离为（）AkmBkmCkmDkm9（5分）f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（）ABCD10（5分）设x，y满足约束条件，则z3x+y的最大值是（）A0B

3、4C5D611（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A2B3CD12（5分）已知函数f（x）xlnx，若对于区间（e，+）内任意的x1，x2（x1x2），都有a恒成立，则实数a的取值范围为（）A（，2B（，C（2，+）D（e，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上13（5分）命题p：xR，x2x，则p为   14（5分）已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为   15（5分）在等比数列an中，a3、a8是方程x23x50的两个根，则a

4、1a10   16（5分）函数f（x）xex的极小值为   三、解答题：本大题共6小题，满分共70分；解答要写出证明过程或解题步骤17（10分）给定命题p：关于x的方程x2+ax+a0无实根；命题q：函数y（14a）x+3在（0，+）上单调递减已知pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S416，a47（1）求数列an的通项公式；（2）求的值19（12分）在ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b，c1，cosB（1）求sinC的值；（2）求ABC的面积20（12分）某客运公司买了每辆200万元的大客车投入运营

5、，根据调查得知，每辆客车每年客运收入约为100万元，且每辆客车第n年的油料费，维修费及其他各种管理费用总和P（n）（万元）与年数n成正比，比例系数k16（1）写出每辆客车运营的总利润y（万元）与n的函数关系式；（2）每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？21（12分）已知抛物线C：y22px过点P（1，1）过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点22（12分）已知函数f（x）+nx（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0）处的切线

6、方程为y3x+2，求m，n的值；（2）当n1时，在区间（，1上至少存在一个x0，使得f（x0）0成立，求实数m的取值范围2018-2019学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在ABC中，A30，B135，a3，则边b（）A5B4C3D2【分析】由正弦定理可求b即可求解【解答】解：因为A30，B135，由正弦定理可得故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题2（5分）已知命题p：1x1，命题q；x2，则p是q的（）A充分不必要条件B必要

7、不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：依题意可pq成立，反之不成立即p是q的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键3（5分）已知数列an是等比数列，且a11，a48，则a6（）A15B24C32D64【分析】由a11，a48可得公比q2，由此能求出a6【解答】解：由a11，a48可得公比q2，故故选：C【点评】本题考查等比数列第6项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）已知实数ab，则以下不等式中恒成立的是（）Aa

8、3b3Ba2b2C（）a（）bD【分析】根据不等式的性质进行判断即可【解答】解：f（x）x3是增函数，易知选项A正确，当a1，b1时，a2b2不成立由（）a（）b，得ab，则C错误，a1，b1时，不成立，故选：A【点评】本题主要考查不等关系与不等式的性质，结合不等式的性质是解决本题的关键5（5分）将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a222，则表中所有数之和为（）A2B18C20D512【分析】首先根据等差数列的性质求出每行数的和每行数的和等于第二个数的3倍，又知每列的3个数按从上到下的顺序也构

9、成等差数列，求出该列数的和，根据等差数列的性质，每列数的和等于第2个数的3倍，据此即可求出表中所有数之和【解答】解：每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，a11+a12+a133a12，a21+a22+a233a22，a31+a32+a333a32，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，a12+a22+a323a22，表中所有数之和为9a229218，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的前n项和的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差数列的性质和数列求和公式，本题基础题，还是比较简单6（5分）已知x，则函数y4x+取最小值为（）A3B2C5D7【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【

10、解答】解：x，4x50则函数y4x+4x5+5+57，当且仅当x时取等号函数y4x+取最小值为7故选：D【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题7（5分）函数f（x）+lnx的单调递减区间是（）A（，2）B（0，2）C（2，+）D（）【分析】求出原函数的导函数，利用导数小于0求得原函数的单调减区间【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+），由f'（x）0，可得0，解得：0x2，f（x）的减区间为（0，2）故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分式不等式的解法，是基础题8（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在C北偏东45，B在C南偏东15，

11、则A，B之间的距离为（）AkmBkmCkmDkm【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，根据平角的定义，由已知的15和45，求出ACB的度数，在三角形ABC中，再由|AC|BC|2km，利用余弦定理即可表示出|AB|的值【解答】解：根据图形可知ACB120，在ABC中，|AC|BC|2km，根据余弦定理得：|AB|222+22222cos12012，所以A，B 之间的距离为2km故选：A【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及的知识有方位角的画法，余弦定理，利用了数形结合的思想，解答此类题的关键是审清题意，画出相应的图形，利用余弦定理建立已知与未知间的关系，从而达到解决问题的目的9（5分）f

12、（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（）ABCD【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间【解答】解：x2时，f（x）0，则f（x）单减；2x0时，f（x）0，则f（x）单增；x0时，f（x）0，则f（x）单减则符合上述条件的只有选项A故选：A【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减重点是理解函数图象及函数的单调性10（5分）设x，y满足约束条件，则z

13、3x+y的最大值是（）A0B4C5D6【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z3x+y得y3x+z，平移直线y3x+z，由图象可知当直线y3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大由，解得，即A（2，0），此时zmax326，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键11（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A2B3CD【分析】由题意求出c2，再根据焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，求出b，即

14、可求出a1，根据离心率公式计算即可【解答】解：椭圆与双曲线有共同的焦点，4+m2m2a2+b2，双曲线的焦点坐标为（2，0），（2，0）设F（2，0）其渐近线方程为yx，焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，22，b，a2c2b21，e2，故选：A【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及椭圆的简单性质，考查了运算能力，属于基础题12（5分）已知函数f（x）xlnx，若对于区间（e，+）内任意的x1，x2（x1x2），都有a恒成立，则实数a的取值范围为（）A（，2B（，C（2，+）D（e，+）【分析】把不等式恒成立变形为恒成立，可得函数yxlnxax在（e，+）上单调递增，利用导数在（e，+）上

15、恒大于0求解a的取值范围【解答】解：由恒成立，得恒成立，令函数yf（x）ax，即yxlnxax，则函数yxlnxax在（e，+）上单调递增，y'lnx+1a0在（e，+）上恒成立，即a（lnx+1）min由于xe，则lnx+12，从而a2实数a的取值范围为（，2故选：A【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上13（5分）命题p：xR，x2x，则p为xR，x2x【分析】全称命题的否定，前要否定量词，后要否定结论，由此结合已知中原命题，可得其否定形式【解答】解：根据全称命题的否定方法可得

16、：命题“xR，x2x”的否定是xR，x2x故答案为：xR，x2x【点评】本题考查的知识点是全称命题及命题的否定，其中熟练掌握全称命题的否定方法是解答的关键14（5分）已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为18【分析】由双曲线的方程可得 a4，根据双曲线的定义求出点P到右焦点的距离【解答】解：由双曲线的方程可得 a4，由双曲线的定义可得 点P到右焦点的距离等于 2a 加上点P到左焦点的距离，故点P到右焦点的距离为 8+1018，故答案为：18【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，得到点P到右焦点的距离等于 2a 加上点P到左焦点的距离，是解题的关键15（5分）在等

17、比数列an中，a3、a8是方程x23x50的两个根，则a1a105【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论【解答】解：由a3、a8是方程x23x50的两个根，可得a3a85，由等比数列性质可知a1a10a3a85，故答案为：5【点评】本题考查韦达定理的运用，考查等差数列的性质，属于基础题16（5分）函数f（x）xex的极小值为【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值【解答】解：求导函数，可得yex+xex，令y0可得x1令y0，可得x1，令y0，可得x1函数在（，1）上单调减，在（1，+）上单调增x1时，函数yxex取得最小值，最小值是，故答案为：【点评】本题

18、考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分共70分；解答要写出证明过程或解题步骤17（10分）给定命题p：关于x的方程x2+ax+a0无实根；命题q：函数y（14a）x+3在（0，+）上单调递减已知pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围【分析】求出命题命题为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可【解答】解：由方程x2+ax+a0无实根，可得a24a0解得0a4即命题p：0a4（3分）由函数y（14a）x+3在R上单调递增，可得14a0，解得即命题q：（6分）pq是真命题，pq是假命题p、q两个命题真假性相反   &nbs

19、p;                        （7分）或（9分）解得或a0实数a的取值范围为（10分）【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S416，a47（1）求数列an的通项公式；（2）求的值【分析】（1）根据等差数列的性质当n+mk+l时则an+amak+al得a11，d2所以an2n1（2）先得到数列的通项公式裂项后相加求和得【解答】解：（1）由题意得因为an

20、是等差数列所以当n+mk+l时则an+amak+al所以S4a1+a2+a3+a42（a1+a4）16由a47a11d2所以数列an的通项公式是an2n1（2）由（1）得an2n1所以的值是【点评】对等差数列的性质要熟悉，这也是高考常考的内容，此题是考查等差数列的性质等差中项数列求和是高考重点本题考查用裂项相消求和19（12分）在ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b，c1，cosB（1）求sinC的值；（2）求ABC的面积【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理可得sinC的值（2）由cb，可得C为锐角，由（1）可得cosC，利用两角和的正弦函数公式可求si

21、nA的值，利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）b，c1，cosBsinB，由正弦定理可得：sinC4分（2）cb，C为锐角，由（1）可得：cosC，sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC+，SABCbcsinA12分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20（12分）某客运公司买了每辆200万元的大客车投入运营，根据调查得知，每辆客车每年客运收入约为100万元，且每辆客车第n年的油料费，维修费及其他各种管理费用总和P（n）（万元）与年

22、数n成正比，比例系数k16（1）写出每辆客车运营的总利润y（万元）与n的函数关系式；（2）每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？【分析】（1）由题意，P（n）16n；从而写出y100n200n，（nN*）；（2）设年平均利润为f（n）万元，故f（n）8n+92，从而利用基本不等式求最值【解答】解：（1）由题意，P（n）16n；则y100n200n8n2+92n200，（nN*）；（2）设年平均利润为f（n）万元，故f（n）8n+9292（8n+）928012（当且仅当n2.5时，等号成立），又nN*；且f（2）92161000，f（3）92（24+）0；故当每辆客车运营3年可使其运营的

23、年平均利润最大【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题21（12分）已知抛物线C：y22px过点P（1，1）过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2）设过点（0，）的直线方程为ykx+，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2，x1x2，根据中点的定义即可证明【解答】解

24、：（1）y22px过点P（1，1），12p，解得p，y2x，焦点坐标为（，0），准线为x，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为ykx+，M（x1，y1），N（x2，y2），直线OP为yx，直线ON为：yx，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k1）x+0，x1+x2，x1x2y1+kx1+2kx1+2kx1+2kx1+（1k）2x12x1，A为线段BM的中点【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题22（12分）已知函数f（x）+nx（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程为y3x+2，求m，n

25、的值；（2）当n1时，在区间（，1上至少存在一个x0，使得f（x0）0成立，求实数m的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，结合切点坐标求出m，n的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出m的范围即可【解答】解：（1）f（x）+n，故f（0）nm，即nm3，又f（0）m，故切点坐标是（0，m），切点在直线y3x+2上，故m2，n1；（2）f（x）+x，f（x），当m0时，f（x）0，故函数f（x）在（，1）递增，令x0a0，此时f（x）0，符合题意，当m0时，即0me时，则函数f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，+）递增，当lnm1即0me时，则函数f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，1递增，f（x）minf（lnm）lnm+10，解得：0m，当lnm1即me时，函数f（x）在区间（，1）递减，则函数f（x）在区间（，1）上的最小值是f（1）+10，解得：me，无解，综上，m，即m的范围是（，）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题