2018-2019学年广东省云浮市高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年广东省云浮市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）直线x+y0的倾斜角为（）ABCD2（5分）已知直线，若直线l2l1，则直线l2的斜率为（）ABCD3（5分）设命题p：x0，2，|sinx|1，则p为（）Ax0，2，|sinx|1Bx0，2，|sinx|1Cx00，2，|sinx0|1Dx00，2，|sinx0|14（5分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，3），B（2，1，5），则|AB|（）ABC14D5（5分）设m、n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正

2、确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，mn，则n6（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A12B14C16D187（5分）若椭圆的长轴长为6则它的焦距为（）A4B3C2D18（5分）过点A（3，0）、B（3，0）、C（0，1）的圆的标准方程为（）Ax2+（y4）225Bx2+（y+4）225C（x+4）2+y21D（x4）2+y2179（5分）在三棱柱ABCA1B1C1中，若，则（）ABCD10（5分）已知点F是抛物线y22px（p0）的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|10，则|y1

3、y2|（）A4B8C12D1611（5分）设F1和F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，点M在该双曲线上，且MF1MF2，若F1MF2的面积是4a2，则该双曲线的离心率为（）ABC2D12（5分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SCD底面ABCD，SCD为等腰直角三角形，SCSD2若点P在线段AC（不含端点）上运动，则SP+BP的最小值为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）13（5分）若直线l1：5x+y20与l2：7x+ay40平行，则a   14（5分）若焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双

4、曲线的离心率是   15（5分）已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则这个三棱锥的外接球的表面积为   16（5分）若点A（1，0）到直线l的距离为，点B（0，1）到直线l的距离为，则直线l的方程为   三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知（其中a为常数，且a0）（1）若p为真，求x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围18（12分）在顺次连接的平行四边形ABCD中，已知点A（1，1），B（2，0），D（0，1）（1）求点C的坐标；（2）设线段BD的中

5、点为E，直线l过E且垂直于CD，求l的方程19（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|20（12分）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AA1平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点（1）证明：AC平面DMN；（2）证明：平面DMN平面在BB1D1D21（12分）在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为梯形，ABCD，AB2BC2CD，DCFB，CF平面ABCD（1）求BE与平面EAC所成角的正弦值；（2

6、）线段BE上是否存在点M，使平面EAC平面DFM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由22（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，长半轴长为短轴长的b倍，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M（t，2）（t0）（1）求椭圆C的方程；（2）若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点2018-2019学年广东省云浮市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）直线x+y0的倾斜角为（）ABCD【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角【解答】解：直线x

7、+y0的斜率为1，又0，故选：C【点评】本题考查斜率与倾斜角的关系，是基础题2（5分）已知直线，若直线l2l1，则直线l2的斜率为（）ABCD【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解【解答】解：直线，直线l2l1，直线l2的斜率为k故选：B【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）设命题p：x0，2，|sinx|1，则p为（）Ax0，2，|sinx|1Bx0，2，|sinx|1Cx00，2，|sinx0|1Dx00，2，|sinx0|1【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命

8、题，即p：x00，2，|sinx0|1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键比较基础4（5分）在空间直角坐标系中，已知A（1，0，3），B（2，1，5），则|AB|（）ABC14D【分析】利用两点间距离公式直接求解【解答】解：在空间直角坐标系中，A（1，0，3），B（2，1，5），|AB|故选：B【点评】本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题5（5分）设m、n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，mn

9、，则n【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，m与相交、平行或m；在D中，由线面垂直的判定定理得n【解答】解：由m、n是两条不同的直线，是一个平面，知：在A中，若m，n，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故C错误；在D中，若m，mn，则由线面垂直的判定定理得n，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题6（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视

10、图，则该几何体的体积为（）A12B14C16D18【分析】根据三视图知该几何体是由12个小正方体组成的组合体，计算它的体积即可【解答】解：根据三视图知该几何体是12个小正方体的组合体，如图所示；则该几何体的体积为V121312故选：A【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题7（5分）若椭圆的长轴长为6则它的焦距为（）A4B3C2D1【分析】由题意可得a3，于b25，则c2a2b24，即可求出焦距【解答】解：椭圆的长轴长为6，则2a6，即a3，由于b25，则c2a2b24，即c2，则它的焦距为2c4，故选：A【点评】本题考查椭圆的标准方程，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆

11、性质的合理运用8（5分）过点A（3，0）、B（3，0）、C（0，1）的圆的标准方程为（）Ax2+（y4）225Bx2+（y+4）225C（x+4）2+y21D（x4）2+y217【分析】由题意，设圆心坐标为（0，n），则则32+n2（n1）2，求出圆心与半径，可得圆的标准方程【解答】解：由题意，设圆心坐标为（0，n），则32+n2（n1）2，解得n4，r5圆的标准方程为：x2+（y+4）225故选：B【点评】本题考查了圆的方程，考查待定系数法的运用，属于基础题9（5分）在三棱柱ABCA1B1C1中，若，则（）ABCD【分析】可画出三棱柱，结合图形即可求出，这样根据向量加法的平行四边形法则即可求

12、出【解答】解：如图，；，；故选：D【点评】考查相等向量、相反向量的概念，向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，数形结合的解题方法10（5分）已知点F是抛物线y22px（p0）的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|10，则|y1y2|（）A4B8C12D16【分析】由已知求得p，得到抛物线方程，进一步求得B、A的坐标，即可求出【解答】解：|AF|2+10，p16，则抛物线的方程为y232x，把x代入方程，得y4（y4舍去），即B（，4），把x2代入方程，得y8（y8舍去），即A（2，8），则|y1y2|8（4）|12，故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结

13、合的解题思想方法，是基础题11（5分）设F1和F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，点M在该双曲线上，且MF1MF2，若F1MF2的面积是4a2，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【分析】设|PF1|m，|PF2|n，mn，由双曲线的定义和三角形的面积，以及勾股定理可得ca，即可求出离心率【解答】解：设|PF1|m，|PF2|n，mn，则mn2a，MF1MF2，F1MF2的面积是4a2，mn4，即mn8a2，4c2m2+n2（mn）2+2mn4a2+16a2，ca，e，故选：D【点评】本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，

14、以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力12（5分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SCD底面ABCD，SCD为等腰直角三角形，SCSD2若点P在线段AC（不含端点）上运动，则SP+BP的最小值为（）ABCD【分析】由SCD为等腰直角三角形，且SCSD2，可得CD，设PCx（0x2），把SP+BP用含有x的代数式表示，变形后再由其几何意义求解【解答】解：如图，SCD为等腰直角三角形，且SCSD2，CD，设PCx（0x2），则，SP，BPSP+BP其几何意义为动点（x，0）到两定点M（1，）与N（2，2）距离和，如图，N关于x轴的对称点为G（2，2），则SP+BP的最小

15、值为故选：B【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间中点线面间的距离计算，考查数学转化思想方法，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）13（5分）若直线l1：5x+y20与l2：7x+ay40平行，则a【分析】由直线与直线平行的性质求解【解答】解：直线l1：5x+y20与l2：7x+ay40平行，解得a故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）若焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率是【分析】根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用e，即可求得结论【解答

16、】解：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，则离心率e，故答案为：【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线渐近线的条件建立方程关系是解决本题的关键15（5分）已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则这个三棱锥的外接球的表面积为56【分析】先做出三棱锥PABC的图形，根据三个侧面面积，计算出三条侧棱的长度，并计算出直角PBC的外接圆直径BC，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出答案【解答】解：如下图所示，在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两垂直，易证PA平面PBC，设PAx，PBy，PCz，则，解得，直角PBC的外接圆直径为，

17、所以，该三棱锥的外接球直径为，因此，这个三棱锥的外接球的表面积为4R241456故答案为：56【点评】本题考查球体的表面积，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查了计算能力与推理能力，属于中等题16（5分）若点A（1，0）到直线l的距离为，点B（0，1）到直线l的距离为，则直线l的方程为x+y+30【分析】设直线l的方程为kxy+b0，由点A（1，0）到直线l的距离为，点B（0，1）到直线l的距离为，列方程组，能求出直线l的方程【解答】解：设直线l的方程为ykx+b，即kxy+b0，点A（1，0）到直线l的距离为，点B（0，1）到直线l的距离为，解得，直线l的方程为yx3，即x+

18、y+30故答案为：x+y+30【点评】本题考查直线方程的求法，考查点到直线距离公式、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知（其中a为常数，且a0）（1）若p为真，求x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系即可【解答】解：（1）由1，得x1或x0，即命题p是真命题是x的取值范围是（，0）（1，+），（2）由x23ax+2a20得（xa）（x2a）0，若a0，则ax2a，若a0，则2a

19、xa，若p是q的必要不充分条件，则q对应的集合是p对应集合的真子集，若a0，则满足，得a1，若a0，满足条件即实数a的取值范围是a1或a0【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q的等价条件是解决本题的关键18（12分）在顺次连接的平行四边形ABCD中，已知点A（1，1），B（2，0），D（0，1）（1）求点C的坐标；（2）设线段BD的中点为E，直线l过E且垂直于CD，求l的方程【分析】（1）设C（x，y），由，能求出点C的坐标（2）设线段BD的中点为E，则E（1，），求出kCD，则kl3，由此能求出l的方程【解答】解：（1）设C（x，y），在顺次连接的平行四边形ABCD中，点A

20、（1，1），B（2，0），D（0，1），即（1，2）（x2，y），解得x3，y2，点C的坐标（3，2）（2）设线段BD的中点为E，则E（1，），kCD，直线l过E且垂直于CD，kl3，l的方程为y3（x1），即6x+2y70【点评】本题考查点的坐标、直线方程的求法，考查直线方程、向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|【分析】（1）利用动圆C过定点F（2，0），且与直线l1：x2相切，所以点C的轨迹是以F为焦点x2为

21、基准线的抛物线，即可求动点C的轨迹方程；（2）先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ|【解答】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y28x（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，两式作差得y12y228（x1x2）即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k4，则直线l的方程为y14（x1），即y4x3，与y28x联立得16x232x+90，得，【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查

22、学生的计算能力，属于中档题20（12分）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AA1平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点（1）证明：AC平面DMN；（2）证明：平面DMN平面在BB1D1D【分析】（1）连接A1C1，推导出A1ACC1为平行四边形，从而A1C1AC推导出MNA1C1，从而ACMN由此能证明AC平面DMN（2）推导出MNDD1 A1C1B1D1，由MNA1C1，得MNB1D1，再由MNDD1，得MN平面A1B1C1D1由此能证明平面DMN平面BB1D1D【解答】证明：（1）连接A1C1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为，所以，所以A1

23、ACC1为平行四边形，所以A1C1AC                （2分）又M，N分别是棱A1D1，D1C1的中点，所以MNA1C1，所以ACMN        （4分）又AC平面DMN，MN平面DMN，所以AC平面DMN                           （6分）（2）因为四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，所以DD1

24、平面A1B1C1D1，而MN平面A1B1C1D1，所以MNDD1                                （8分）又因为棱柱的底面ABCD是菱形，所以底面A1B1C1D1也是菱形，所以A1C1B1D1，而MNA1C1，所以MNB1D1（10分）又MNDD1，DD1，B1D1平面A1B1C1D1，且DD1B1D1D1，所以MN平面A1B1C1D1          

25、                                     （12分）而MN平面DMN，所以平面DMN平面BB1D1D                     （14分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查函数与方程思想，考查

26、函数与方程思想，是中档题21（12分）在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为梯形，ABCD，AB2BC2CD，DCFB，CF平面ABCD（1）求BE与平面EAC所成角的正弦值；（2）线段BE上是否存在点M，使平面EAC平面DFM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CF为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面EAC的法向量，利用向量法能求出BE与平面EAC所成角的正弦值（2）设线段BE上存在点M（a，b，c），01，使平面EAC平面DFM，求出平面DMF的法向量和平面EAC的法向量，利用向量法求出线段BE上不存在点M，使平面

27、EAC平面DFM【解答】解：（1）四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为梯形，ABCD，DCFB，CF平面ABCD以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CF为z轴，建立空间直角坐标系，设AB2BC2CD2，则B（0，1，0），E（1，0，1），A（2，1，0），C（0，0，0），F（0，0，1），（1，1，1），（2，1，0），（1，0，1），设平面EAC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，2，1），设BE与平面EAC所成角为，则sinBE与平面EAC所成角的正弦值为（2）线段BE上不存在点M，使平面EAC平面DFM理由如下：设线段BE上存在点M（a，b，c），01，使平面EAC平面D

28、FM，则（a，b1，c）（，），M（，1，），（，1，），（1，0，1），设平面DMF的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1），平面EAC平面DFM，平面EAC的法向量（1，2，1），110，解得00，1，线段BE上存在点M，使平面EAC平面DFM，且0【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，长半轴长为短轴长的b倍，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M（t，2）（t0）（1）求椭圆C的方程；（2）若直线

29、MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点【分析】（1）由题意知，解出即可得出（2）点易知A（0，1），B（0，1），则直线MA的方程为，直线MB的方程为分别与椭圆联立方程组，解得xP，xQ，可得yP，yQP，Q坐标可得直线PN，QN的斜率程，即可证明【解答】（1）解：由题意知，解得，所以椭圆C的方程为（2）证明：易知A（0，1），B（0，1），则直线MA的方程为，直线MB的方程为联立，得，于是，同理可得xQ，yQ，所以直线PN的斜率，直线QN的斜率，因为k1k2，所以直线PQ过定点（0，）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题