2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二（下）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN（）Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x32（5分）已知i是虚数单位，若，则（）ABCD3（5分）在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为（）ABCD4（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）2xf（1）+lnx，则f（1）（）AeB1C1De5（5分

2、）设平面向量（1，2），（2，y），若，则|2|等于（）A4B5CD6（5分）已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（）AabcBacbCcabDbca7（5分）曲线y与直线y5x围成的平面图形的面积为（）ABCD8（5分）记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则（）Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22n9（5分）已知函数f（x）sin（2x+）的图象关于直线x对称，则可能取值是（）ABCD10（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A10B20C30D6011（5分）双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离

3、心率为（）A2sin40B2cos40CD12（5分）若函数至少有1个零点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B0，1）CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分答案填在答题卷上相应的位置上13（5分）曲线yx2+lnx在点（1，1）处的切线方程为   14（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若，则ABC的面积为   15（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则

4、甲队以4：1获胜的概率是   16（5分）从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为   三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）c（1）求C；（2）若c，ABC的面积为，求ABC的周长18（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1CB1A1，ABAA1，BAA160（1）求证：AC

5、BC；（2）若平面ABC平面ABB1A1，且ABBC，求二面角A1CC1B的正弦值19（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为1、2，

6、求1、2的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率20（12分）已知椭圆的左右焦点分別为F1、F2，其离心率为，短轴端点与焦点构成四边形的面积为且过点p（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）过定点Q（2，3）的直线与椭圆C交于两点M、N，直线PM、PN的斜率为k1、k2，求证：k1+k2为定值21（12分）已知f（x）alnx+x2x（aR）（）若x2是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的最小值；（）对x（e，+），f（x）ax0恒成立，求a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，

7、则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为4cos，直线l的极坐标方程为，两条曲线交于A，B两点（1）求曲线C1和直线l的普通方程；（2）M曲线（为参数）上的动点，求MAB的面积的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2xa|+|x+|（1）当a2时，解不等式f（x）1；（2）求函数g（x）f（x）+f（x）的最小值2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个

8、选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN（）Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x3【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出【解答】解：Mx|4x2，Nx|x2x60x|2x3，MNx|2x2故选：C【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题2（5分）已知i是虚数单位，若，则（）ABCD【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案【解答】解：，故选：D【点评】本题考查了复数的运算性质和共轭复数的概念，属基础题3（5分）在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽

9、取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为（）ABCD【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A：不放回地依次抽取2张牌，抽到“红心”的概率，事件B：抽到一个“红心”的概率，再用条件概率公式求出概率【解答】解：5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，由题意事件A：不放回地依次抽取2张牌，抽到“红心”的概率，P（A）；事件B：抽到一个“红心”的概率，再用条件概率公式求出概率P（AB），在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为：P（B|A）；故选：D【点评】本题考查条件概率计算公式，解题的关键是正确理解事事件A事件B发生的概率及P（B|A），中档题

10、4（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）2xf（1）+lnx，则f（1）（）AeB1C1De【分析】已知函数f（x）的导函数为f（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x1代入，即可求解；【解答】解：函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）2xf（1）+lnx，（x0）f（x）2f（1）+，把x1代入f（x）可得f（1）2f（1）+1，解得f（1）1，故选：B【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f（1）看成一个常数，就比较简单了；5（5分）设平面向量（1，2），（2，y），若，则|2|等于（）A4B5CD【分析】利

11、用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出【解答】解：，22y0，解得y42（1，2）（2，4）（4，8），|2|故选：D【点评】熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键6（5分）已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则（）AabcBacbCcabDbca【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.20，20.21，00.20.31，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：alog20.2log210，b20.2201，00.20.30.201，c0.20.3（0，1），acb，故选：B【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增

12、函数和减函数的定义，属基础题7（5分）曲线y与直线y5x围成的平面图形的面积为（）ABCD【分析】联立，解得两曲线的交点为（1，4），（4，1），所以两曲线围成的面积为y5x在1，4上的积分【解答】解：如图：联立，解得，两曲线的交点坐标为（1，4），（4，1），所以两曲线围成的图形的面积为S（5x4lnx）|故选：D【点评】本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解决此类问题的关键本题属于基础题8（5分）记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则（）Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22n【分析】根据题意，设等差数列an的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项

13、公式和前n项和即可【解答】解：设等差数列an的公差为d，由S40，a55，得，an2n5，故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题9（5分）已知函数f（x）sin（2x+）的图象关于直线x对称，则可能取值是（）ABCD【分析】根据正弦函数图象的对称轴，结合题意求得的可能取值【解答】解：函数f（x）sin（2x+），令2x+k+，kZ；f（x）的图象关于直线x对称，2+k+，kZ；解得k+，kZ；的可能取值是故选：C【点评】本题考查了正弦函数的图象与对称性应用问题，是基础题10（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（

14、）A10B20C30D60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1，令r2，则（x2+x）3的通项为，令6k5，则k1，（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为30故选：C【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键11（5分）双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为（）A2sin40B2cos40CD【分析】由已知求得，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率【解答】解：双曲线C：1（a0，b0）的渐近线方程为y，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130，得，则，得，e故选：D【点评

15、】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题12（5分）若函数至少有1个零点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B0，1）CD【分析】设，由题意，函数ya的图象与函数的图象至少有一个交点，利用数形结合思想，通过观察图象即可求得实数a的取值范围【解答】解：设，则原函数等价为g（t）lnta|t|lntat，令g（t）0，则，由题意，函数ya与函数的图象至少有一个交点，令h（t）0，解得te，当x（0，e）时，h（t）0，函数h（t）单调递增，当x（e，+）时，h（t）0，函数h（t）单调递减，且，t0时，h（t），t+时，h（t）0作草图如下，由图可知，要使函数ya与函

16、数至少有一个交点，则，故选：C【点评】本题考查导数的运用，考查换元法及数形结合思想的运用，难度不大解决这类题的方法一般是分离参数，利用数形结合，研究两个简单函数的图象的位置关系即可二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分答案填在答题卷上相应的位置上13（5分）曲线yx2+lnx在点（1，1）处的切线方程为3xy20【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求切线的方程【解答】解：yx2+lnx的导数为y2x+，则在点（1，1）处的切线斜率为k3，即有在点（1，1）处的切线方程为y13（x1），即为3xy20故答案为：3xy20【点评】本题考查导数的运用：求切线

17、方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键14（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若，则ABC的面积为【分析】由余弦定理可得关于c的方程，解出c得到a，由面积公式求出面积【解答】解：由余弦定理，有b2a2+c22accosB，c2，c，a故答案为：【点评】本题考了余弦定理和三角形的面积公式，考查了运算能力，属基础题15（5分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是0

18、.18【分析】甲队以4：1获胜包含的情况有：前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包含的情况有：前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p10.40.60.50.50.60.036，前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p20.60.40.50.50.60.036，前5场比赛中，第三场负，

19、另外4场全胜，其概率为：p30.60.60.50.50.60.054，前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p30.60.60.50.50.60.054，则甲队以4：1获胜的概率为：pp1+p2+p3+p40.036+0.036+0.054+0.0540.18故答案为：0.18【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为10【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标

20、，进而利用三角形面积公式求得答案【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x1，x0514|y0|4，MPF的面积为5410故答案为10【点评】本题主要考查了抛物线的应用解题的关键是灵活利用了抛物线的定义三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）c（1）求C；（2）若c，ABC的面积为，求ABC的周长【分析】（1）利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得2cosC

21、sinCsinC，由0C，sinC0，可求cosC，进而可求C的值（2）根据ABC的面积公式可求ab6，根据余弦定理可求a+b的值，即可求得周长【解答】解：（1）由已知2cosC（acosB+bcosA）c，正弦定理得：2cosC（sinAcosB+cosAsinB）sinC，即2cosCsinCsinC，0C，sinC0，cosC，C（2）由c，C，ABC的面积为absin，ab6，又由余弦定理c2b2+a22abcosC，可得：7b2+a2ab（a+b）23ab（a+b）218，可得：（a+b）225，解得：a+b5，ABC的周长a+b+c5+【点评】本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，

22、属于基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用18（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1CB1A1，ABAA1，BAA160（1）求证：ACBC；（2）若平面ABC平面ABB1A1，且ABBC，求二面角A1CC1B的正弦值【分析】（1）设AB中点为D，连接CD，DA1，证明ABDA1，又CA1A1B1，推出A1B1面CDA1，即可证明A1B1CD，推出ABC为等腰三角形，即可得到ACBC；（2）设以AB中点D为原点，分别以DA，DA1，DC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB2，求出平面面A1CC1的法向量，平面BCC1的法向量，利用空间向量的数量积求解即可求得二面角A1CC1B的正

23、弦值【解答】（1）证明：设AB中点为D，连接CD，DA1，又设AB2，则AD，AA11，又cosBAA1，ABDA1，又CA1A1B1，CA1DA1，A1B1面CDA1，得A1B1CD，ABA1B1，ABCD，又CD为中线，ABC为等腰三角形，即ACBC；（2）解：设以AB中点D为原点，分别以DA，DA1，DC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB2，则D（0，0，0），A1（0，0），C（0，0，），B（1，0，0），C1（1，），故（0，），（1，0），（1，0，），设面A1CC1的法向量，则有，取z11，得（，1，1），同理得：面BCC1的法向量（，1，1），设所求二面角为，则|cos

24、|，故sin【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题19（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率（i）设公司员工

25、在方式一、二下的受训时间分别为1、2，求1、2的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率【分析】（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，利用古典概型、排列组合能求出恰有一人优秀的概率（2）（i）先分别求出1的分布列、数学期望和2的分布列、数学期望，由E（1）E（2），得到公司应选培训方式一（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为p，由此能求出从公司任选两人，恰有一人优秀的概率【解答】解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为p（3分）（2）（i）1的分布列为15101520P，（6

26、分）2的分布列为1481226P，E（1）E（2），公司应选培训方式一（9分）（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为p，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为p（12分）【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知椭圆的左右焦点分別为F1、F2，其离心率为，短轴端点与焦点构成四边形的面积为且过点p（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）过定点Q（2，3）的直线与椭圆C交于两点M、N，直线PM、PN的斜率为k1、k2，求证：k1+k2为定值【分析】（1）利用已

27、知条件求出a，b然后求解椭圆方程（2）由题意可知，直线斜率存在，设直线方程为y+3k（x+2），与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合斜率公式即可证明k1+k2为定值【解答】解：（1）依题意bc，又，结合a2b2+c2，解得a2，b，c1故椭圆的标准方程为；证明：（2）由题意可知，直线斜率存在，设直线方程为y+3k（x+2），即ykx+2k3联立，得（3+4k2）x2+8k（2k3）x+4（2k3）2120由64k2（2k3）24（3+4k2）4（2k3）2120，解得k设M（x1，y1），N（x2，y2），则则x1+x2，x1x2k1+k2+【点评】本题考查椭圆标准

28、方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21（12分）已知f（x）alnx+x2x（aR）（）若x2是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的最小值；（）对x（e，+），f（x）ax0恒成立，求a的取值范围【分析】（）根据极值的定义，f（2）0，这样便能求出a2，再求f（x），根据极值的定义便可判断该函数在x2处取极小值，并且是最小值，求出f（2）即可（）根据已知条件，0恒成立，因为求a的范围，所以想着让不等式一边是a，因为xe时，lnxx0，所以能得到：，所以令g（x），所以求出g（x）的范围即可，可通过求导数判断单调性，根据单调性求范围【解答】解：（）f（x），f（2

29、），a2；f（x）2lnx+，f（x）；0x2时，f（x）0；x2时，f（x）0，x2时，f（x）取最小值2ln2（），即；xe，lnxx0，设g（x），x（e，+）；g（x）；x（e，+）时，x10，令h（x），则：h（x）0，h（x）在e，+）上单调递增；x（e，+）时，h（x）h（e）0；g（x）0；g（x）在（e，+）上为增函数，g（x）g（e）；a；a的取值范围为（，【点评】本题考查极值的概念，最值的概念，求最值的方法，导数符号和函数单调性的关系，由单调性求函数值的取值范围，而得到是求解本题的关键（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分

30、选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为4cos，直线l的极坐标方程为，两条曲线交于A，B两点（1）求曲线C1和直线l的普通方程；（2）M曲线（为参数）上的动点，求MAB的面积的最小值【分析】（1）把4cos两边同时乘以，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C1的直角坐标方程，把展开两角差的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；（2）利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的恒等变换求出三角形的面积【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程为4cos，两边同乘，得24cos，转化为

31、直角坐标方程为：x2+y24x直线l的极坐标方程为cos（+）2，得，转化为直角坐标方程为：xy40；（2）联立，解得直线l与曲线C1交点的直角坐标为（2，2），（4，0）|AB|因此，MAB的面积取得最小时M到直线l的距离最小设点M（2cos，sin），则点M到直线l的距离为：d当sin（）1时，dminSMAB|AB|dmin【点评】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用，是中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2xa|+|x+|（1）当a2时，解不等式f（x）1；（2）求函数g（x）f（x）+f（x）的最小值【分析

32、】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出g（x）的最小值即可【解答】解：（1）当a2时，|2x2|+|x+1|1，x1时，22xx11，得x0，即有x1，1x1时，22x+x+11，得x2，即有1x1，x1时，2x2+x+11，得x，即有x1，综上，不等式f（x）1的解集为R（2）g（x）f（x）+f（x）|2xa|+|x+|+|2xa|+|x+|2xa|+|2x+a|+|x+|+|x|（2xa）（2x+a）|+（x+）（x）|2a|+|24，当且仅当（2xa）（2x+a）0，（x+）（x）0且|2a|时取“”函数g（x）的最小值为4【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题