2018-2019学年广东省东莞市东华高中高二（下）月考数学试卷（文科）（一）（4月份）含详细解答

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1、2018-2019学年广东省东莞市东华高中高二（下）月考数学试卷（文科）（一）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知a，b，cR，且ab，ab0，则下列不等式一定成立的是（）Aa3b3Bac2bc2CDa2b22（5分）复数的虚部是（）ABCD3（5分）抛物线的准线方程是（）Ax4Bx2Cy4Dy24（5分）某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如表数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为8x+，则为（）A5B15C10D205（5分）在等差数列an中，a4，a12是方程x2+3x+10的两根，则a8（）ABCD

2、不能确定6（5分）给出如下四个命题：若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若x2且y3，则x+y5”的否命题为“若x2或y3，则x+y5”在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件；命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题为真命题其中正确命题的个数为（）A0B1C2D37（5分）ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2Aa，则（）A2B2CD8（5分）在ABC中，已知B45，c2，b，则A的值是（）A15B75C105D75或159（5分）直线ykx+1与曲线yx3+bx2+c相切于点M（1，2），则b的值为（）A1B0C1D2

3、10（5分）设等差数列an满足3a85a13，且a10，则前n项和Sn中最大的是（）AS10BS11CS20DS2111（5分）F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为（）A1B2CD12（5分）已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f（x），若函数yf（x）没有零点，且ff（x）2019x2019，当g（x）sinxcosxkx在上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（）A（，1B（C1，D）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）数列an满足，则a8

4、   14（5分）已知x，y满足条件则z2x+5y的最大值为   15（5分）焦点为且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是   16（5分）某班级A，B，C，D四位学生A、B、C、D参加了文科综合知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测得冠军的是A或B；历史老师预测得冠军的是C；政治老师预测得冠军的不可能是A或D；语文老师预测得冠军的是B，而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了，则得冠军的是   三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答需写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17（12分）在ABC中，点D在BC上，（1）求AD的长；（2）

5、若ABD的面积为，求AB的长；18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）当时，求数列的前n项和Tn19（12分）根据教育部高考改革指导意见，广东省从2021年正式实施“3+1+2”新的高考考试方案为尽快了解学生的选科需求，及时调整学校人力资源配备某校从高一学生中抽样调查了100名同学，在模拟分科选择中，一半同学（其中男生38人）选择了物理，另一半（其中男生14人）选择了历史请完成以下22列联表，并判断能否有99.9%的把握说选科与性别有关？参考公式：，其中na+b+c+d为样本容量p（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

6、k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828选物理选历史总计男生女生总计20（12分）已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上（）求椭圆C的方程；（）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值21（12分）已知函数，其中aR（）求f（x）的单调区间；（）若在1，e上存在x0，使得f（x0）0成立，求a的取值范围22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy+40，曲线C的参数方程为 （为参数）（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半

7、轴为极轴）中，点P的极坐标为（2，），求直线l的极坐标方程；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值2018-2019学年广东省东莞市东华高中高二（下）月考数学试卷（文科）（一）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知a，b，cR，且ab，ab0，则下列不等式一定成立的是（）Aa3b3Bac2bc2CDa2b2【分析】根据不等式的基本性质，结合已知中ab，逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立，可得答案【解答】解：a，b，cR，且ab，ab0，故a3b3成立，故A正确；当c0时，则ac2bc2，故B不一定成立；由于ab符

8、号不确定，故与的大小不能确定，故C不一定成立，由于a，b符号不确定，故a2与b2的大小不能确定，故D不一定成立；故选：A【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键2（5分）复数的虚部是（）ABCD【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，复数的虚部是故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）抛物线的准线方程是（）Ax4Bx2Cy4Dy2【分析】抛物线化为标准方程，可得抛物线的焦点在x轴上，且开口向右，2p8，由此可得抛物线的准线方程【解答】解：抛物线可化为y28x，抛物线的焦点在x轴上，且开

9、口向右，2p82，抛物线的准线方程是x2故选：B【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键4（5分）某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如表数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为8x+，则为（）X24568y2535605575A5B15C10D20【分析】由给定的表格可知5，50，代入8x+，可得【解答】解：由给定的表格可知5，50，代入8x+，可得10故选：C【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，比较基础5（5分）在等差数列an中，a4，a12是方程x2+3x+10的两根，则a8（）ABCD不能确定【

10、分析】利用根与系数的关系求得a4+a123，再由等差数列的性质可得a8【解答】解：由a4，a12是方程x2+3x+10的两根，得a4+a123an是等差数列，故选：B【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系的应用，考查等差数列的性质，是基础的计算题6（5分）给出如下四个命题：若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若x2且y3，则x+y5”的否命题为“若x2或y3，则x+y5”在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件；命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题为真命题其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3【分析】由复合命题的真值表可判断；由命题的否命题的形式可判断；

11、由三角形的正弦定理和边角关系，以及充分必要条件的定义可判断；由命题的逆否命题和原命题等价，可判断【解答】解：，“若p且q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故错误；，命题“若x2且y3，则x+y5”的否命题为“若x2或y3，则x+y5”，故正确；，在ABC中，“AB”“ab”“2RsinA2RsinB”“sinAsinB”，故正确；，命题“若xy，则sinxsiny”正确，由原命题和其逆否命题等价，可得其逆否命题为真命题，故正确故选：D【点评】本题考查命题的真假判断，考查复合命题的真值表，以及四种命题的形式和关系，充分必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题7（5分）ABC的三个内角A、

12、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2Aa，则（）A2B2CD【分析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简整理题中的等式得sinBsinA，从而得到ba，可得答案【解答】解：ABC中，asinAsinB+bcos2Aa，根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2AsinA，可得sinB（sin2A+cos2A）sinA，sin2A+cos2A1，sinBsinA，得ba，可得故选：C【点评】本题给出三角形满足的边角关系式，求边a、b的比值着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题8（5分）在ABC中，已知B45，c2，b，则A的值是（）A

13、15B75C105D75或15【分析】由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，sinB，以及b的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可确定出A的度数【解答】解：在ABC中，B45，c2，b，由余弦定理得：b2a2+c22accosB，即a2+84a，解得：a2+或a2，由正弦定理得：sinA或，sin75sin（45+30）sin45cos30+cos45sin30，sin15sin（4530）sin45cos30cos45sin30，A75或15故选：D【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键9（5分）直线ykx+

14、1与曲线yx3+bx2+c相切于点M（1，2），则b的值为（）A1B0C1D2【分析】求得yx3+bx2+c的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线方程和曲线方程，解方程可得b的值【解答】解：yx3+bx2+c的导数为y3x2+2bx，可得切线的斜率为3+2b，由条件可得k3+2b，1+b+c2，1+k2，解得k1，b1，c2故选：A【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用切点既在切线上，也在曲线上，考查方程思想和运算能力，属于基础题10（5分）设等差数列an满足3a85a13，且a10，则前n项和Sn中最大的是（）AS10BS11CS20DS21【分析】设等差数列an的公差为d，由3

15、a85a13，可得3（a1+7d）5（a1+12d），可得a21+a200，由a10，可得d0，即等差数列an为单调递减数列可得a210，a200，即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，3a85a13，3（a1+7d）5（a1+12d），化为：2a1+39d0，可得a21+a200，a10，d0，即等差数列an为单调递减数列a210，a200，前n项和Sn中最大的是S20故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于

16、M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为（）A1B2CD【分析】分析知F1MF2是直角，又由M的长度为半径c，在直角三角形F1MF2中勾股定理建立相应的方程变形求e【解答】解：易知圆F2的半径为c，又直线MF1恰与圆F2相切，F1MF2是直角，|F1F2|2c，|MF2|c，|F1M|2ac，在直角三角形F1MF2中有（2ac）2+c24c2，即（）2+2（）20，e1选A【点评】考查焦点三角形的几何特征与椭圆的定义，属于训练基本概念的题型，根据几何特征与定义将三边用参数a，b，c表示出来再根据离心率公式进行变形，训练变形的能力12（5分）已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f

17、（x），若函数yf（x）没有零点，且ff（x）2019x2019，当g（x）sinxcosxkx在上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（）A（，1B（C1，D）【分析】由题意可知：f（x）为R上的单调函数，则f（x）2019x为定值，由指数函数的性质可知f（x）为R上的增函数，则g（x）在，单调递增，求导，则g'（x）0恒成立，则ksin（x+）min，根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围【解答】解：若方程f'（x）0无解，则 f（x）0或f（x）0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，xR都有ff（x）2019x2019，则f（x）2019x为定值，

18、设tf（x）2019x，则f（x）t+2019x，易知f（x）为R上的增函数，g（x）sinxcosxkx，g（x）sinx+cosxk，又g（x）与f（x）的单调性相同，g（x）在R上单调递增，则当x，g'（x）0恒成立，当x，时，x+，sin（x+），1，此时k1，故选：A【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）数列an满足，则a83【分析】根据递推公式求出数列an的通项公式，再计算a8的值【解答】解：数列an中，anan12n10，an1an22n

19、12，a3a24，a2a16，ana164+（2n12）+（2n10）（n1）（n8），an（n1）（n8）+3，a83故答案为：3【点评】本题考查了数列的递推公式应用问题，是基础题14（5分）已知x，y满足条件则z2x+5y的最大值为19【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，求出各角点的坐标，依次代入目标函数，比较后，可得目标函数的最大值【解答】解：满足条件的可行域如下图所示：z2x+5y，zO0，zA8，zB18，zC19，zD15，故z2x+5y的最大值为19，故答案为：19【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划

20、等知识，属于基础题15（5分）焦点为且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是1【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为，结合其焦点坐标可得k0，则要求双曲线的标准方程为1，进而可得（k）+（2k）36，解可得k的值，即可得答案【解答】解：根据题意，要求双曲线与双曲线有相同渐近线，则要求双曲线的方程为，又由要求双曲线的焦点为，则k0，则要求双曲线的标准方程为1，则有（k）+（2k）36，即k12，则要求双曲线的标准方程为1，故答案为：1【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题16（5分）某班级A，B，C，D四位学生A、B、C、D参加了文科综合知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老

21、师预测得冠军的是A或B；历史老师预测得冠军的是C；政治老师预测得冠军的不可能是A或D；语文老师预测得冠军的是B，而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了，则得冠军的是C【分析】先阅读理解题意再进行简单的合情推理，逐一进行检验即可得解【解答】解：设获得冠军的是A，则只有地理老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是A，设获得冠军的是B，则地理老师、政治老师、语文老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是B，设获得冠军的是C，则历史老师、政治老师预测正确，与题设相符，故获得冠军的是C，设获得冠军的是D，则四位老师都预测错误，与题设矛盾，故获得冠军的不是D，综合得：故获得冠军的是C，故答

22、案为：C【点评】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属简单题三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答需写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17（12分）在ABC中，点D在BC上，（1）求AD的长；（2）若ABD的面积为，求AB的长；【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinADC的值，利用正弦定理可求AD的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求BD的值，利用诱导公式可求cosADB的值，根据余弦定理可求AB的值【解答】（本题满分为12分）解：（1），且0ADC，（2分）正弦定理有，得；（5分）（2），（6分），得BD2，（8分）又，（9分）由余弦定理得，AB3（12分）

23、【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）当时，求数列的前n项和Tn【分析】（1）由数列的递推式，可得a2，将递推式中的n换为n+1，相减，结合等比数列的定义和通项公式可得所求；（2）求得bnn，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）由可得a2S1a1，可得an+1Sn，又anSn1，n2，相减可得an+1an（SnSn1）an，即为an+1an，可得an为从第二项起，公比q为的等比数列，

24、可得ana2qn2（）n1；可得an；（2）log（）nn，可得，则前n项和Tn1+1【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题19（12分）根据教育部高考改革指导意见，广东省从2021年正式实施“3+1+2”新的高考考试方案为尽快了解学生的选科需求，及时调整学校人力资源配备某校从高一学生中抽样调查了100名同学，在模拟分科选择中，一半同学（其中男生38人）选择了物理，另一半（其中男生14人）选择了历史请完成以下22列联表，并判断能否有99.9%的把握说选科与性别有关？参考公式：，其中na+b+c+d为样本容量p（K2

25、k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828选物理选历史总计男生女生总计【分析】由题意填写22列联表，根据列联表中的数据计算K2的观测值k，结合临界值表得结论【解答】解：列出22列联表如下： 选物理 选历史 总计 男生 38 14 52 女生 12 36 48 总计 50 50 100提出假设H0：选科与性别没有关系根据列联表中的数据计算K2的观测值k当H0成立时，k10.828，有99.9%的把握说选科与性别有关【点评】本题考查独立性检验，考查计算能力，是基础题20（12分）已知椭圆的两个焦点，

26、点在此椭圆上（）求椭圆C的方程；（）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值【分析】（）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；（）设直线AB的方程为xmy+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，求出直线AN，BN的斜率，作和后代入根与系数的关系，整理得答案【解答】解：（）依题意知：，椭圆方程为；（）直线AB过点M（1，0），设直线AB的方程为xmy+1，再设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消

27、x得：（m2+3）y2+2my20，N（3，2），为定值【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题21（12分）已知函数，其中aR（）求f（x）的单调区间；（）若在1，e上存在x0，使得f（x0）0成立，求a的取值范围【分析】（）先求出函数的单调区间，通过讨论a的范围，确定函数的单调性；（）通过讨论a的范围，得到f（x）在1，e的单调性，求出1，e的最小值即可求出a的范围【解答】解：（）当a0时，在x（0，+）上f'（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，在x（0，a）上f'（x）0；在x（a，+）上f

28、'（x）0；所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增综上所述，当a0时，f（x）的单调递增区间为（0，+），当a0时，f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+）（）若在1，e上存在x0，使得f（x0）0成立，则f（x）在1，e上的最小值小于0当a1，即a1时，由（1）可知f（x）在1，e上单调递增，f（x）在1，e上的最小值为f（1），由f（1）1a0，可得a1，当ae，即ae时，由（1）可知f（x）在1，e上单调递减，f（x）在1，e上的最小值为f（e），由，可得当1ae，即ea1时，由（1）可知f（x）在（1，a）上单调递减，在（a，e）上单调递

29、增，f（x）在1，e上的最小值为f（a）（a+1）ln（a）a+1，因为0ln（a）1，所以（a+1）（a+1）ln（a）0，即（a+1）ln（a）a+12，即f（a）2，不满足题意，舍去综上所述，实数a的取值范围为【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy+40，曲线C的参数方程为 （为参数）（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（2，），求直线l的极坐标方程；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值【分析】（1）由xcos，ysin，能求出直线l的极坐标方程（2）设Q（，sin），利用点到直线的距离公式能求出Q到直线l的距离的最小值【解答】解：（1）直线l的方程为xy+40，xcos，ysin，cossin+40，整理，得（sincos）4，直线l的极坐标方程为2（2）设点Q是曲线C上的一个动点，则Q（，sin），点Q到直线l：xy+40的距离：d，当sin（）1时，Q到直线l的距离的最小值是【点评】本题考查直线的极坐标方程的求法，考查点到直线的最小距离的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题