2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）期中数学试卷含详细解答

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1、2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求1（5分）抛物线y2x2的焦点坐标为（）A（1，0）B（，0）C（0，）D（0，）2（5分）若，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A+，B，+，C+，D+，+，3（5分）方程x2y2x+y表示的曲线是（）A一个点B一条直线C两条直线D双曲线4（5分）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M设，则下列向量中与2相等的向量是（）A+2B+2C+2D+25（5分）曲线1与曲线1（k9）的（）A长轴长相等B短

2、轴长相等C离心率相等D焦距相等6（5分）设平面与平面的夹角为，若平面，的法向量分别为和，则cos（）ABCD7（5分）与圆x2+y21及圆x2+y28x+120都外切的圆的圆心在（）A一个椭圆上B一个圆上C一条抛物线上D双曲线的一支上8（5分）以点A（4，1，9），B（10，1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是（）A等腰直角三角形B等边三角形C直角三角形D钝角三角形9（5分）已知点P在抛物线y24x上，点Q在直线yx+3上，则|PQ|的最小值是（）ABCD10（5分）直三棱柱A1B1C1ABC，BCA90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BD1与AF1所成角

3、的余弦值是（）ABCD11（5分）已知双曲线（a0，b0）的离心率e2，若A，B，C是双曲线上任意三点，且A，B关于坐标原点对称，则直线CA，CB的斜率之积为（）A2B3CD12（5分）已知空间直角坐标系Oxyz中，P是单位球O内一定点，A，B，C是球面上任意三点，且向量，两两垂直，若QA+B+C2P（注：以X表示点X的坐标），则动点Q的轨迹是（）AO为球心，为半径的球面BO为球心，为半径的球面CP为球心，为半径的球面DP为球心，为半径的球面二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分13（5分）双曲线4x2y2+640上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于 &n

4、bsp; 14（5分）已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是   15（5分）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是   三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）（）求以AB、AC为边的平行四边形的面积；（）若向量分别与、垂直，且|a|，求的坐标17（12分）设抛物线y22px（p0）上的点M与焦点F的距离为，到y轴的距离为（1）求抛物

5、线的方程和点M的坐标；（2）若点M位于第一象限，直线y2x与抛物线相交于A，B两点，求证：MAMB18（12分）如图，在三棱锥OABC中，G是ABC的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点（1）用向量，表示，并证明你的结论；（2）设，x，y，zR，请写出点P在ABC的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）19（12分）已知动点M与定点F（c，0）的距离和M到定直线l：的距离的比是定值（其中a0，c0）（1）求动点M的轨迹方程；（2）当a，c变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状20（12分）如图，四边形ABCD为梯形，四边形CDEF为矩形，平面ABCD平面CDEF，BADADC

6、90，ABADDECD，M为AE的中点（1）证明：AC平面MDF；（2）求平面MDF与平面BCF的夹角的大小21（12分）已知直线l：经过椭圆E：（ab0）右焦点，且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点，OM的斜率为（O为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与圆C：x2+y2r2（r0）相切，且圆C的动切线与椭圆E相交于P，Q两点，求OPQ面积的最大值2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求1（5分）抛物线y2x2的焦点坐标为（）A（1，0）B（，

7、0）C（0，）D（0，）【分析】先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标【解答】解：整理抛物线方程得x2y焦点在y轴，p焦点坐标为（0，）故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向2（5分）若，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A+，B，+，C+，D+，+，【分析】由平面向量基本定理判断【解答】解：由平面向量基本定理得：对于A选项，（+）+（），所以+，三个向量共面；对于B选项，同理：，+，三个向量共面；对于D选项，所以三个向量共面；故选：C【点评】本题考查平面向量基本定理，属于基础

8、题3（5分）方程x2y2x+y表示的曲线是（）A一个点B一条直线C两条直线D双曲线【分析】先把已知条件转化，再根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可求出结论【解答】解：因为：x2y2x+y；x2y2（x+y）0，即（x+y）（xy1）0；x+y0或者xy10；方程x2y2x+y表示的曲线是两条直线故选：C【点评】本题考查曲线与方程，重点是对于方程的理解，属于基础题4（5分）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M设，则下列向量中与2相等的向量是（）A+2B+2C+2D+2【分析】在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，根据空间向量的加法合成法则，对向量进行线性

9、表示即可【解答】解：由题意得，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，22（+）2（+）2+2+2；故选：A【点评】本题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题5（5分）曲线1与曲线1（k9）的（）A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【解答】解：曲线1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线1（k9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8对照选项，则D正确故选：D【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题6（5分）设平面与平面的夹角为，

10、若平面，的法向量分别为和，则cos（）ABCD【分析】直接利用已知条件写出二面角的余弦值即可【解答】解：平面，的法向量分别为和，若两个平面的夹角为，两平面夹角范围是0，则cos故选：B【点评】本题考查空间向量的数量积求解二面角的公式，是基本知识的考查，基础题7（5分）与圆x2+y21及圆x2+y28x+120都外切的圆的圆心在（）A一个椭圆上B一个圆上C一条抛物线上D双曲线的一支上【分析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案【解答】解：由x2+y28x+120，得（x4）2+y24，画出圆x2+y21与（x4）2+y24的图象如图，设圆P的半

11、径为r，圆P与圆O和圆M都外切，|PM|r+2，|PO|r+1，则|PM|PO|14，P点在以O、M为焦点的双曲线的左支上，故选：D【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，考查双曲线的定义，是基础题8（5分）以点A（4，1，9），B（10，1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是（）A等腰直角三角形B等边三角形C直角三角形D钝角三角形【分析】分别求出（6，2，3），（2，3，6），（8，5，3），再求出模，由此能求出结果【解答】解：A（4，1，9），B（10，1，6），C（2，4，3），（6，2，3），（2，3，6），（8，5，3），|7，|7，|7，|，且|2+|2|2，以点A（4，

12、1，9），B（10，1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形故选：A【点评】本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用9（5分）已知点P在抛物线y24x上，点Q在直线yx+3上，则|PQ|的最小值是（）ABCD【分析】设与直线yx+3平行且与抛物线相切的直线为yx+b，则可知|PQ|的最小值即为两直线的距离直线方程yx+b与抛物线方程联立，消去x根据判别式等于0求得b，根据距离公式求得答案【解答】解：设与直线yx+3平行且与抛物线相切的直线为yx+b，联立消去x得y24y+4b0，（4）216b0b1则|PQ|的最小值是故选：B【点评】本

13、题考查了直线与抛物线的综合问题，以及判别式来判断直线与圆锥曲线的关系属于基础题10（5分）直三棱柱A1B1C1ABC，BCA90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）ABCD【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD1与AF1所成角的余弦值【解答】解：直三棱柱A1B1C1ABC，BCA90，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，设BCCACC12，则B（0，20），D1（1，1，2），A（

14、2，0，0），F1（1，0，2），（1，1，2），（1，0，2），设BD1与AF1所成角为，则cosBD1与AF1所成角的余弦值为故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用11（5分）已知双曲线（a0，b0）的离心率e2，若A，B，C是双曲线上任意三点，且A，B关于坐标原点对称，则直线CA，CB的斜率之积为（）A2B3CD【分析】设出点A，B、C的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合kCAkCB即可求得结论【解答】解：由题意，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1，y1），则，两式相减可得，kCAkCB3故选

15、：B【点评】本题考查双曲线的几何性质：离心率的求解，考查了点差法，属中档题12（5分）已知空间直角坐标系Oxyz中，P是单位球O内一定点，A，B，C是球面上任意三点，且向量，两两垂直，若QA+B+C2P（注：以X表示点X的坐标），则动点Q的轨迹是（）AO为球心，为半径的球面BO为球心，为半径的球面CP为球心，为半径的球面DP为球心，为半径的球面【分析】利用已知条件推出，然后说明结果即可【解答】解：由QA+B+C2P得，QP（AP）+（BP）+（CP），即又，两两垂直，所以Q是以PA，PB，PC为三条相邻棱的长方体中与顶点P相对的顶点由，得（*）又，所以，同理，三式相加，得，代入（*）式，得，即

16、（定值）所以，动点Q的轨迹是以O为球心，为半径的球面故选：B【点评】本题考查空间几何体的特征，空间向量的应用，距离公式的应用，是中档题；本题也可以采用排除法分别考虑P与O重合和点P在球面上两种极端情形，研究即得答案二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分13（5分）双曲线4x2y2+640上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于17【分析】首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出|PF1PF2|2a，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离【解答】解：将双曲线4x2y2+640化成标准形式：a264，b216P到它

17、的一个焦点的距离等于1，设PF11|PF1PF2|2a16PF2PF11617（舍负）故答案为：17【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点14（5分）已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是【分析】过PC上一点D作DO平面APB，则DPO就是直线PC与平面PAB所成的角能证明点O在APB的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值【解答】解：在PC上任取一点D并作DO平面APB，则DPO就是直线PC与平面

18、PAB所成的角          过点O作OEPA，OFPB，因为DO平面APB，则DEPA，DFPBDEPDFP，EPFP，OEPOFP，因为APCBPC60，所以点O在APB的平分线上，即OPE30设PE1，OPE30OP在直角PED中，DPE60，PE1，则PD2在直角DOP中，OP，PD2则cosDPO即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力、转化能力15（5分）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点

19、轨迹方程是【分析】运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论【解答】解：设这组平行直线的方程为yx+m，联立，整理得18x2+12mx+4m2360，则，所以它们与椭圆交点的中点坐标为（m，m），即这些点均在yx（x）上，故答案为：yx（x）【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）（）求以AB、AC为边的平行四边形的面积；（）若向量分别与

20、、垂直，且|a|，求的坐标【分析】（1）以AB、AC为边的平行四边形的面积我们选择S，其中是的夹角（2）设出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可【解答】解：（），BAC60（4分）（6分）（）设（x，y，z），（8分）（11分）（1，1，1）或（1，1，1）（12分）【点评】本题考查向量背景下平行四边形的面积及向量垂直的充要条件17（12分）设抛物线y22px（p0）上的点M与焦点F的距离为，到y轴的距离为（1）求抛物线的方程和点M的坐标；（2）若点M位于第一象限，直线y2x与抛物线相交于A，B两点，求证：MAMB【分析】（1）由抛物线的定义知解得p1即可（2）联立直线y2x与抛

21、物线y22x的方程，解之得即，或，即可得即可证明【解答】解：（1）由抛物线的定义知，点M到准线的距离为即有解之，得，p1所以，抛物线的方程为y22x，点M的坐标为（2，2）或（2，2）（2）证明：联立直线y2x与抛物线y22x的方程，解之，得或，即，或，又M（2，2），所以故MAMB【点评】本题考查了抛物线性质，斜率公式，考查了运算能力，属于中档题18（12分）如图，在三棱锥OABC中，G是ABC的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点（1）用向量，表示，并证明你的结论；（2）设，x，y，zR，请写出点P在ABC的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）【分析】（1）由题意根据空间向

22、量的加法法则推出向量，使得它用基底，表示即可；（2）设x+y，x，yR，则点P在直线AB上的充分必要条件是：x+y1，且0x1，0y1类比平面向量三点共线的结论写出即可【解答】解：（1）证明如下：（2）设，x，y，zR，则点P在ABC的内部（不包括边界）的充分必要条件是：x+y+z1，且0x1，0y1，0z1【点评】本题考查空间向量的加减法，以及向量用不共线的基底进行表示，注意三角形的重心的性质运用，还考察了类比推理能力，属于中档题19（12分）已知动点M与定点F（c，0）的距离和M到定直线l：的距离的比是定值（其中a0，c0）（1）求动点M的轨迹方程；（2）当a，c变化时，指出（1）中轨迹方

23、程表示的曲线形状【分析】（1）设出M的坐标利用已知条件列出方程，化简求解即可（2）通过a，c的大小关系，化简方程，然后推出结果即可【解答】解：（1）设M（x，y），由已知，得所以，两边平方，得，化简，得动点M的轨迹方程为（a2c2）x2+a2y2a2（a2c2）（2）因为a0，c0，所以当ac0时，化为y0，它表示的曲线是直线x轴；当ac0时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上，长半轴长为a，短半轴长为的椭圆；当ca0时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上，实半轴长为a，虚半轴长为的双曲线【点评】本题考查圆锥曲线的轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力20（12分）如图，四边形ABCD为

24、梯形，四边形CDEF为矩形，平面ABCD平面CDEF，BADADC90，ABADDECD，M为AE的中点（1）证明：AC平面MDF；（2）求平面MDF与平面BCF的夹角的大小【分析】（1）（法1）连结CE与DF相交于N，连结MN说明ACMN推出AC平面MDF（法2）说明，推出与，是共面向量即可证明AC平面MDF（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设ABa，求出平面MDF的一个法向量，求出平面BCF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面MDF与平面BCF的夹角即可【解答】证明：（1）（法1）连结CE与DF相交于N，连结MN因为四边形CDEF为矩形

25、，所以N为CE中点又M为AE的中点，所以，在EAC中，ACMNAC平面MDF（法2）因为四边形CDEF为矩形，且M为AE的中点，所以，从而与，是共面向量又AC/平面MDF，所以AC平面MDF解：（2）因为四边形CDEF为矩形，所以EDDC又平面ABCD平面CDEF，ED平面CDEF，平面ABCD平面CDEFDC，所以ED平面ABCD而ADC90，所以，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图设ABa，由已知，得，设平面MDF的一个法向量为（x，y，z），则，且，所以，且，即，取z2，得x2，y1，即（2，1，2）同理，可求得平面BCF的一个法向量为（1，

26、1，0）所以，平面MDF与平面BCF的夹角为45【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力，是中档题21（12分）已知直线l：经过椭圆E：（ab0）右焦点，且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点，OM的斜率为（O为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与圆C：x2+y2r2（r0）相切，且圆C的动切线与椭圆E相交于P，Q两点，求OPQ面积的最大值【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解a，b推出结果（2）由直线l：与圆C：x2+y2r2（r0）相切，

27、得，求出圆的方程，设动切线PQ：xmy+n，由，消去x，得（m2+3）y2+2mny+n230利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减并整理，得，即所以又直线l：与x轴的交点为，由已知，得a2b22联立，解得a23，b21所以，椭圆的方程为（2）由直线l：与圆C：x2+y2r2（r0）相切，得，所以r1，圆C：x2+y21又设动切线PQ：xmy+n，（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分）由，消去x，得（m2+3）y2+2mny+n230所以又直线PQ：xmy+n与圆C：x2+y21相切，所以，即n21+m21，从而所以，OPQ面积令，解得，相应的|m|1所以，使OPQ面积最大的直线PQ共有四条：和故OPQ面积的最大值为【点评】本题考查直线与题意的方程的位置关系的综合应用，题意的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题