§4 数列在日常经济生活中的应用 学案（含答案）

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1、4数列在日常经济生活中的应用学习目标1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义知识点一单利、复利一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为a(1rx)(2)复利是指：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为a(1r)x.知识点二数列应用问题的常见模型1整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，到期本息合计为an，则an

2、A(1np)其本质是等差数列中已知首项和公差求第n项问题2定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，则到第n期末时，应得到本息合计为：nAAp.其本质为已知首项和公差，求前n项和问题3分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计还款本利合计1复利在第二次计息时，将上一次的本利和当作本金()2增长率.()3同一笔钱，相同的利率，用单利计息和用复利计息收益是一样的()题型一等差数列模型例1某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品

3、的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件，试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可以获得最大利润？(设最低档次为第1档次)解设在相同的时间内，从低到高每档次产品生产的件数分别为a1，a2，a10，对应每档次产品的利润分别为b1，b2，b10，则数列an，bn均为等差数列设数列an，bn的公差分别为d1，d2，则a160，d13，b18，d22，所以an603(n1)3n63，bn82(n1)2n6.设利润为f(n)元，则f(n)anbn(3n63)(2n6)6n2108n3786(n9)2864，n

4、1,2，10.显然，当n9时，f(n)有最大值，所以f(n)maxf(9)864.故在相同的时间内，生产第9档次的产品可以获得最大利润反思感悟把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等跟踪训练1李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？解设第n个月存入的100元到期利息为an，则a11002.736，an是公差为1002.7的等差数列数列an的前36项和S3636a1d361002.73618351002.71

5、79.82，3年共存入本金100363 600(元)到期一次可支取3 600179.823 779.82(元)题型二等比数列模型例2某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2015年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2025年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？解设从2015年年初到2025年年初每年存入a元的本利和组成数列an(1n10)则a1a(1p)10，a2a(1p)9，a10a(1p)，故数列an(1n10)是以a1a(1p)10为首项，q为公比的等比数列所以2025年初这个家庭应取出的钱数为S10(1p)11(1p)(元)引申探究若将题中的复利改

6、为单利，结果是多少？解a1a(110p)，a2a(19p)，a3a(18p)，a10a(1p)，S10a(110p)a(19p)a(1p)10aap10a55ap.反思感悟在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律跟踪训练2(1)现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是_万元答案81.0255解析定期自动转存属于复利问题，设第n年末本利和为an，则a1880.0258(10.025)，a2a1a10.0258(10.025)2，a3a2a20.0258(10.025)3，a58(10.025)5，即5年末的本利和是8

7、1.0255.(2)银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于_答案(1r)31解析设储户开始存入的款数为a，由题意得，a(13q)a(1r)3，q(1r)31分期付款模型典例小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少(参考数据：1.008121.10)解方法一设小华每期付

8、款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则A25 000(10.008)2x5 0001.0082x，A4A2(10.008)2x5 0001.00841.0082xx，A125 0001.00812(1.008101.00881.00821)x0，解得x883.5.故小华每期付款金额约为883.5元方法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则A2x；A4A2(10.008)2xx(11.0082)；A6A4(10.008)2xx(11.00821.0084)；，A12x(11.00821.00841.00861.00881.00810)年底付清欠款，A125 0001.

9、00812，即5 0001.00812x(11.00821.00841.00810)，x883.5.故小华每期付款金额约为883.5元素养评析本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.1某种细菌的培养过程中，每20 min分裂一次(一次分裂成两个)，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成()A511个 B512个 C1 023个 D1 024个答案B解析共进行了9次细胞分裂，可由一个繁殖29512(个)2近年来，

10、随着计算机成本的不断降低其价格也在降低，若每隔3年计算机价格降低，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为()A2 400元 B900元 C300元 D3 600元答案A解析9年后降价3次，故9年后的价格可降为8 10032 400(元)3递子最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，则自上而下第6级的宽度为()A61 cm B68 cm C75 cm D89 cm答案B解析设an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列由已知条件可知，a133，a12110，n12，a12a1(121)d，即1103311d，解得d7，因此，a6335768

11、，故选B.4一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，如果这个找伙伴的过程持续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A65只 B66只 C216只 D36只答案B解析设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a11，a25a1a16a1，a35a2a26a2，an是首项为1，公比为6的等比数列a7a1q7166.5一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有_只答案6解析设共有n只羊，依题意除去一只羊外，其余n1只羊

12、的重量从小到大依次排列构成等差数列设a17，d0，Sn1651055，(n1)a1d55，即7(n1)55，(n1)55.55115且(n1)为正整数，为正整数解得n6.1数列应用问题的常见模型(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(d为常数)(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型(3)如果容易找到该数列任意一项 an1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题. 2数列综合应用题的解题步骤(1)审题弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题. (2)分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等(3)求解分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答(4)还原将所求结果还原到实际问题中