§2 三角形中的几何计算 学案（含答案）

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1、2三角形中的几何计算学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明知识点三角形中的有关公式1正弦定理：2R(R为ABC外接圆半径)2余弦定理：a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.3三角形的面积公式ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，半周长用p表示，则Sahabhbchc；Sbcsin Aacsin Babsin C；S；S.4三内角与三角函数值的关系在ABC中，sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，sincos ，cossi

2、n ，tancot ；tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.思考已知某三角形的两边a，b，及内角B，是不是既可以用正弦定理也可以用余弦定理求解该三角形？答案是1ABC中，cos(AB)cos C()2ABC中，若cos 2Acos 2B，则AB.()3ABC的面积Sabsin B()4ABC的面积Sabc(其中R为ABC外接圆半径)()题型一四边形有关的几何图形计算问题例1如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90，BD交AC于E，AB2.(1)求cosCBE的值；(2)求AE.解(1)BCD9060150，CBACCD，CBE15，cosCBEcos

3、(4530).(2)在ABE中，AB2，由正弦定理可得，得AE.反思感悟解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正弦、余弦定理求解跟踪训练1如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC，ED，则sinCED等于()A. B. C. D.答案B解析由题意得EBEAAB2，则在RtEBC中，EC.在EDC中，EDCEDAADC，由正弦定理，得，所以sinCEDsinEDCsin .题型二三角形有关的几何图形计算问题例2在ABC中，已知AB，cosABC，AC边上的中线BD，求sin A的值解如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DEAB，且DEAB.cosA

4、BC，cosBED.设BEx，在BDE中，利用余弦定理，可得BD2BE2ED22BEEDcosBED，即5x22x.解得x1或x(舍去)，故BC2.在ABC中，利用余弦定理，可得AC2AB2BC22ABBCcosABC，即AC.又sinABC，sin A.反思感悟三角形有关的几何图形计算问题在筹备解三角形所需条件时，通常要利用平面几何的相关结论，如中位线、角平分线、高线、相似、平行等跟踪训练2如图，在ABC中，已知，B45，D是BC边上的一点，AD5，AC7，DC3，求AB的长解ACD中，由余弦定理，得cos C.C为三角形的内角，C(0，)，sin C.在ABC中，由正弦定理，得，AB.题型

5、三三角形面积的计算例3已知在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且4cos2A4cos(BC)10.(1)求角A的度数；(2)若a，bc3，求ABC的面积解(1)4cos2A4cos(BC)10且ABC180，4cos2A4cos A10，解得cos A.又0A180，A60.(2)由余弦定理得cos A，(bc)2a23bc.又a，bc3，bc2，SABCbcsin A.反思感悟求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误跟踪训练3如图，在ABC中

6、，BC5，AC4，cosCAD且ADBD，求ABC的面积解设CDx，则ADBD5x，在CAD中，由余弦定理可知：cosCAD.解得x1.在CAD中，由正弦定理可知：，sinBCA4，SABCACBCsinBCA45.所以三角形ABC的面积为.三角形中的最值问题典例若ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且Sc2(ab)2，ab2，求面积S的最大值解Sc2(ab)2c2a2b22ab2ab(a2b2c2)，由余弦定理得a2b2c22abcos C，c2(ab)22ab(1cos C)，即S2ab(1cos C)，Sabsin C，sin C4(1cos C)又sin2Ccos2C1，17co

7、s2C32cos C150，解得cos C或cos C1(舍去)sin C，Sabsin Ca(2a)(a1)2.ab2，0a0，则5k4k2，k2.a8，b10，c12，abc30.3在ABC中，B，BC边上的高为BC，则sin A等于()A. B. C. D.答案D解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意知B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以sin A.4在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆直径为()A4 B6 C5 D6答案C解析SABCacsin Bcsin 45c2，c4，b2a2c22

8、accos 4525，b5，ABC的外接圆直径为5.5在ABC中，已知B，D是BC边上一点，AD10，AC14，DC6，则AB的长为_答案5解析在ADC中，AD10，AC14，DC6，cosADC.又ADC(0，)，ADC，ADB.在ABD中，由正弦定理得，AB5.1解决几何图形中的计算问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知条件与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形，使问题获解2三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等问题，用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解在涉及变量取值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识3解三角形时，角的取值范围至关重要，角的取值范围往往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错