1.1 正弦定理 学案（含答案）

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1、1正弦定理与余弦定理11正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.3.掌握用两边夹角求三角形面积知识点一正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，这就是正弦定理特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立；(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式；(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化(4)正弦定理有如下变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；abcsin Asin Bsin C；2R.

2、知识点二用两边夹角表示的三角形面积公式一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即SABCabsin Cbcsin Aacsin B.知识点三解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形1对任意ABC，都有.()2任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素()3在ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解()4在某一确定的三角形中，各边与它对角的正弦的比是一定值()题型一已知两角及一边解三角形例1在ABC中，已知A30，B60，a10，解三角形解根据正弦定理，得b10.又C180(3060)90，c20.

3、反思感悟(1)正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个(2)因为三角形的内角和为180，所以已知两角一定可以求出第三个角跟踪训练1在ABC中，已知a18，B60，C75，求b的值解根据三角形内角和定理，得A180(BC)180(6075)45，根据正弦定理，得b9.题型二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在ABC中，已知c，A45，a2，解三角形解，sin C，C(0，180)，C60或C120.当C60时，B75，b1；当C120时，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.引申探究若把本例中的条件“A45”改为“C45”，

4、则角A有几个值？解，sin A.c2a，CA.A为小于45的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个反思感悟已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边跟踪训练2在ABC中，若a，b2，A30，则C_.答案105或15解析由正弦定理，得sin B.B(0，180)，B45或135，C1804530105或C1801353015.题型三三角形的面积

5、例3(1)已知ABC的面积为，b2，c，则A等于()A30 B60 C30或150 D60或120(2)在ABC中，A，AB2，其面积等于，则AC等于()A. B1 C3 D7答案(1)D(2)B解析(1)由SABCbcsin A得2sin A，所以sin A，所以A60或120.(2)A，AB2，ABC的面积SABACsin A2AC，AC1.反思感悟求三角形面积的两点注意：一是注意选择哪类、哪个三角形面积公式；二是要注意三角形内角和定理的应用跟踪训练3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，cos A，b.(1)求sin C的值(2)求ABC的面积解(1)因为A，B，C为ABC

6、的三个内角，且B，cos A，所以CA，sin A.所以sin Csincos Asin A.(2)由(1)知sin A，sin C，又B，b，所以在ABC中，由正弦定理，得a.所以ABC的面积Sabsin C.三角形形状的判断典例在ABC中，已知，且sin2Asin2Bsin2C.求证：ABC为等腰直角三角形证明，又，a2b2即ab，设k(k0)，则sin A，sin B，sin C，又sin2Asin2Bsin2C，即a2b2c2，ABC为等腰直角三角形素养评析(1)正弦定理是以比例的形式给出来的，所以在应用时要注意，结合比例的基本性质(2)正弦定理可以实现边角互化(3)判断和证明要掌握推

7、理的基本形式和规则，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，体现出逻辑推理的数学核心素养1. 在ABC中，一定成立的等式是()Aasin Absin B Bacos Abcos BCasin Bbsin A Dacos Bbcos A答案C解析由正弦定理，得asin Bbsin A，故选C.2在ABC中，sin Asin C，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案B解析由sin Asin C及正弦定理，知ac，ABC为等腰三角形3在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4 B4 C4 D4答案C解析易知A45，由，得b4.4在ABC中，a，b，B，则

8、A_.答案或解析由正弦定理，得sin A，又A(0，)，ab，AB，A或.5已知在ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a，c，C120，则ABC的面积S_.答案解析由正弦定理知，sin Aa.由ac，得A0)2. 正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论