§3 解三角形的实际应用举例 学案（含答案）

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1、3解三角形的实际应用举例学习目标1.准确理解仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握一些常见问题的测量方案.3.培养把实际问题抽象为数学问题的能力知识点实际问题中常见的名称、术语1仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角，如图(a)所示2方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如图(b)中B点的方位角为.3方向角：相对于某正方向的水平角，如北偏东即由正北方向顺时针旋转到达目标方向(如图(c)4坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图(d)，角为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图(d)，

2、i为坡比)思考测量距离一定要选取基线吗？答测量距离一定要选取基线因为无论应用正弦定理还是余弦定理求解，至少应已知一边；另外，若三角形只知角度，则其形状确定，但大小未定1在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针()2在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影()3仰角和俯角都不可能超过90.()题型一测量距离问题命题角度1测量一点不可到达的两点间的距离例1如图，要计算东湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得ADCD，AD10 km，AB14 km，BDA60，CBD15，试求两景点B与C的距离解在ABD中，设BDx，则BA2B

3、D2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，整理得：x210x960，解得，x116，x26(舍去)，由正弦定理，得，所以BCsin 308.即两景点B与C的距离为8 km.反思感悟解决实际测量问题，通常是实际问题抽象为解三角形的问题，然后利用正弦定理或余弦定理即可解决跟踪训练1如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点间的距离为()A50 m B50 m C25 m D. m答案A解析在ABC中，由正弦定理得，又CBA1804510530，故AB50(m)命题角度2测

4、量两个不可到达点间的距离例2如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边测出CD的长为 km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离解在BCD中，CBD1803010545，由正弦定理得，则BC (km)在ACD中，CAD180606060，ACD为正三角形，ACCD(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 452，AB(km)河对岸A，B两点间的距离为km.反思感悟测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题跟踪训练2如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得A

5、CB60，BCD45，ADB60，ADC30，则A，B两点之间的距离是_米答案20解析在BCD中，BDC603090，BCD45，CBD9045BCD，BDCD40，BC40.在ACD中，ADC30，ACD6045105，CAD180(30105)45.由正弦定理，得AC20.在ABC中，由余弦定理，得AB2BC2AC22BCACcosBCA(40)2(20)224020cos 602 400，AB20，故A，B两点之间的距离为20 米题型二测量高度问题例3如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水

6、平面的垂足，求山高CD.解由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1)(m)即山的高度为800(1) m.反思感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题跟踪训练3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是() A10 m B10 m C10

7、 m D10 m答案D解析在BCD中，CD10 m，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，BC10(m)在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(m)题型三测量角度问题例4甲船在A点发现乙船在北偏东60的B点处，测得乙船以每小时a海里的速度向正北行驶，已知甲船速度是每小时a海里，问甲船如何航行才能最快地与乙船相遇解如图设两船最快在C点相遇，在ABC中，B120，AB为定值，AC，BC分别是甲船与乙船在相同时间里的行程，由已知条件有ACBCaa1，由正弦定理，得sin Asin Bsin 120.又0A38，继续向南航行，没有触礁的危险素养评析解决这类问题的

8、关键是对实际问题进行数学抽象，化为三角形问题，然后再利用解三角形的方法进行求解通过对这类题目的解决，培养学生在实际问题情境中，从数学的角度发现问题，提出问题、建立模型、解决问题，提高数学建模的数学核心素养.1.如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B之间的距离，最佳的测量方案是选择测量数据()A，a，bB，aCa，b，D，b答案C2若点M在点N的北偏西43方向上，则点N在点M的()A南偏西47 B西偏北47C南偏东43 D西偏北43答案C解析根据题意，画出图形(图略)由图可知，点N在点M的南偏东43方向上，故选C.3.(2018河南南阳八校联考)如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得A

9、C60 m，天文台最高处B的仰角为45，天文台底部C的仰角为15，则天文台BC的高为()A20 m B30 mC20 m D30 m答案B解析由题图，可得B45，BAC30，故BC30(m)4.如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 千米，那么x的值是_答案4解析由余弦定理，得x293x13，整理得x23x40，解得x4或x1(舍)5如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为_ km.答案7解析因为A，B，C，D四

10、点共圆，所以DB.在ABC和ADC中，由余弦定理可得8252285cos(D)3252235cos D，整理得cos D，代入得AC2325223549，故AC7.1运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别2空间中的测量问题通常都是通过射影化归为平面内的测量问题3正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解